Körper (Geometrie)

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Beispiele für geometrische Körper: Kugel, Pyramide, Würfel, Volltorus, Hohlzylinder, Kreiszylinder, Kegel und ein verknoteter Volltorus.

In der Geometrie versteht man unter einem Körper eine dreidimensionale beschränkte geometrische Figur, die durch Grenzflächen beschrieben werden kann. Eine geometrische Figur heißt dabei dreidimensional, wenn sie in keiner Ebene vollständig enthalten ist, und beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, welche diese Figur vollständig enthält. Genauer gesagt heißt eine geometrische Figur der soeben beschriebenen Art ein dreidimensionaler Körper, da diese Begriffsbildung auch auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden kann.

Definition

Geometrische Körper können auf verschiedene Weise mathematisch definiert werden. Wird der dreidimensionale Raum als Punktmenge $\mathbb {R} ^{3}$ aufgefasst, dann ist ein Körper eine Teilmenge $K\subset \mathbb {R} ^{3}$ dieser Punkte, die bestimmte Eigenschaften erfüllt.

In der geometrischen Modellierung ist ein Körper eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge des dreidimensionalen Raums, die gleich dem Abschluss ihres Inneren ist, also

$K=\operatorname {clos} (\operatorname {int} (K))$

erfüllt. Eine Menge heißt dabei beschränkt, wenn es eine entsprechend große Kugel gibt, die die Menge umfasst, und abgeschlossen, wenn sie ihren Rand mit enthält. Die letzte Bedingung stellt dann sicher dass ein Körper vollständig dreidimensional ist, also keine Bereiche niedrigerer Dimension aufweist. Man spricht an dieser Stelle auch von der Regularität oder der Homogenität eines Körpers.

Nach dieser Definition kann ein Körper auch aus mehreren, nicht miteinander verbundenen Komponenten bestehen. Ein Körper, der nur eine Komponente besitzt, heißt zusammenhängend. Der Rand eines Körpers, also seine Oberfläche, kann ebenfalls aus mehreren, nicht miteinander verbundenen Teilen bestehen. Indem diesen Flächen jeweils eine Orientierung zugewiesen wird, kann ein Körper auch über seine Oberfläche beschrieben werden.

Beispiele

Die bekanntesten Körper besitzen flache oder kreis- bzw. kugelförmige Grenzflächen. Als Beispiele für Körper im Allgemeinen dienen: Würfel, Tetraeder, Pyramide, Prisma, Oktaeder, Zylinder, Kegel, Kugel und Volltorus.

Polyeder

→ Hauptartikel: Polyeder

Zu den bekanntesten geometrischen Körpern gehören die regelmäßigen Polyeder. Das sind die dreidimensionalen, von regelmäßigen Vielecken begrenzten Vielflächner, deren Kanten nur nach außen zeigen und nicht unendlich groß sind, die also auch konvex und beschränkt sind, wie beispielsweise der Würfel, der Tetraeder oder auch der sogenannte Fußballkörper. Von diesen Körpern gibt es nur fünf Arten: die platonischen Körper, die mit sich selbst oder untereinander dual sind, die archimedischen Körper und die dazu dualen catalanischen Körper sowie die Johnson-Körper. Dazu kommen die Prismen und die Antiprismen. Es gibt nur fünf regelmäßige Polyeder, mit denen alleine eine lückenlose Raumfüllung möglich ist: Würfel, dreieckiges und sechseckiges Prisma, verdrehter Doppelkeil und Oktaederstumpf.

Weiteres

• Die Geometrie kennt Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen vieler Körper.
• Symmetrieeigenschaften einzelner Körper lassen sich in der Gruppentheorie darstellen.
• Kristalle sind aus (idealisierten) Elementarzellen aufgebaut, die sich als geometrische Körper verstehen lassen.

Literatur

• Tommy Bonnesen, W. Fenchel: Theorie der konvexen Körper. American Mathematical Soc., 1971, ISBN 0-8284-0054-7.