Orthogonale Abbildung

Eine orthogonale Abbildung oder orthogonale Transformation ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei reellen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhält. Orthogonale Abbildungen sind stets injektiv, linear, isometrisch und beschränkt. Eine orthogonale Abbildung eines reellen Skalarproduktraums in sich wird auch orthogonaler Operator genannt. Die Eigenwerte eines orthogonalen Operators sind nicht notwendigerweise reell, sie besitzen jedoch alle den komplexen Betrag eins. Die bijektiven orthogonalen Operatoren bilden eine Untergruppe der Automorphismengruppe des Raums. Jeder bijektive orthogonale Operator auf einem Hilbertraum ist normal und sein inverser Operator ist gleich seinem adjungierten Operator. Die entsprechenden Gegenstücke bei komplexen Skalarprodukträumen sind unitäre Abbildungen und unitäre Operatoren.

Definition

Eine Abbildung $T\colon V\to W$ zwischen zwei Skalarprodukträumen $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{V})$ und $(W,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{W})$ über dem Körper der reellen Zahlen heißt orthogonal, wenn für alle Vektoren $u,v\in V$

$\langle T(u),T(v)\rangle _{W}=\langle u,v\rangle _{V}$

gilt. Eine orthogonale Abbildung erhält demnach das Skalarprodukt von Vektoren. Insbesondere bildet eine orthogonale Abbildung zwei zueinander orthogonale Vektoren $v$ und $w$ (also Vektoren, deren Skalarprodukt null ist) auf zueinander orthogonale Vektoren $T(v)$ und $T(w)$ ab. Im Folgenden werden die Zusätze $V,W$ bei den Skalarprodukten weggelassen, da durch das Argument klar wird, um welchen Raum es sich jeweils handelt.

Beispiele

Die identische Abbildung

$I\colon V\to V,\,x\mapsto x$

ist trivialerweise orthogonal. Im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ sind orthogonale Abbildungen gerade von der Form

$T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto Q\cdot x$,

wobei $Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine orthogonale Matrix ist. Im Raum $\ell ^{2}$ der quadratisch summierbaren reellen Zahlenfolgen stellt beispielsweise der Rechtsshift

$T\colon \ell ^{2}\rightarrow \ell ^{2},\,(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$

eine orthogonale Abbildung dar. Weitere wichtige orthogonale Abbildungen sind Integraltransformationen der Form

$T\colon L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} ),\,f\mapsto \int _{\mathbb {R} }K(x,\cdot )f(x)~dx$

mit einem geeignet gewähltem Integralkern $K$. Beispiele sind die Sinus- und die Kosinustransformation, die Hilbert-Transformation und die Wavelet-Transformation. Die Orthogonalität solcher Transformationen folgt dabei aus dem Satz von Plancherel und dessen Varianten.

Eigenschaften

Linearität

Eine orthogonale Abbildung ist linear, das heißt für alle $u,v\in V$ und $a,b\in \mathbb {R}$ gilt

$T(au+bv)=aT(u)+bT(v)$.

Es gilt nämlich aufgrund der Bilinearität und der Symmetrie des Skalarprodukts

${\begin{aligned}&\langle T(u+v)-T(u)-T(v),T(u+v)-T(u)-T(v)\rangle =\\&=\langle T(u+v),T(u+v)\rangle -2\langle T(u+v),T(u)\rangle -2\langle T(u+v),T(v)\rangle +\langle T(u),T(u)\rangle +2\langle T(u),T(v)\rangle +\langle T(v),T(v)\rangle =\\&=\langle u+v,u+v\rangle -2\langle u+v,u\rangle -2\langle u+v,v\rangle +\langle u,u\rangle +2\langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\\&=\langle u+v,u+v\rangle -2\langle u+v,u+v\rangle +\langle u+v,u+v\rangle =0\end{aligned}}$

sowie

${\begin{aligned}&\langle T(au)-aT(u),T(au)-aT(u)\rangle =\langle T(au),T(au)\rangle -2\langle T(au),aT(u)\rangle +\langle aT(u),aT(u)\rangle =\\&=\langle T(au),T(au)\rangle -2a\langle T(au),T(u)\rangle +a^{2}\langle T(u),T(u)\rangle =\langle au,au\rangle -2\langle au,au\rangle +\langle au,au\rangle =0.\end{aligned}}$

Aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgen daraus dann die Additivität und die Homogenität von $T$.

Injektivität

Eine orthogonale Abbildung $T\colon V\to W$ ist stets injektiv, denn für $v\in \operatorname {ker} T$ gilt

$\langle v,v\rangle =\langle T(v),T(v)\rangle =\langle 0,0\rangle =0$

und aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgt daraus dann $v=0$. Der Kern einer orthogonalen Abbildung enthält also nur den Nullvektor. Sind $V$ und $W$ endlichdimensional mit der gleichen Dimension, dann gilt aufgrund des Rangsatzes

$\dim V=\dim \mathrm {ker} (T)+\dim \mathrm {im} (T)=\dim \mathrm {im} (T)$

und somit ist $T$ auch surjektiv und damit bijektiv. Orthogonale Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Räumen müssen jedoch nicht notwendigerweise surjektiv sein (ein Beispiel ist der Rechtsshift). Ist eine orthogonale Abbildung jedoch bijektiv, dann ist ihre inverse Abbildung $T^{-1}$ aufgrund von

$\langle T^{-1}(u),T^{-1}(v)\rangle =\langle T(T^{-1}(u)),T(T^{-1}(v))\rangle =\langle u,v\rangle$

ebenfalls orthogonal.

Isometrie

Eine orthogonale Abbildung erhält die Skalarproduktnorm eines Vektors, das heißt

$\|T(v)\|=\|v\|$,

denn es gilt

$\|T(v)\|^{2}=\langle T(v),T(v)\rangle =\langle v,v\rangle =\|v\|^{2}$.

Umgekehrt ist jede lineare Abbildung $T\colon V\to W$ zwischen zwei Skalarprodukträumen, die die Skalarproduktnorm erhält, orthogonal. Es gilt nämlich aufgrund der Bilinearität und der Symmetrie des Skalarprodukts einerseits

$\|T(u+v)\|^{2}=\|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+2\langle u,v\rangle +\|v\|^{2}$

und mit der Linearität von $T$ andererseits

${\begin{aligned}\|T(u+v)\|^{2}&=\|T(u)+T(v)\|^{2}=\langle T(u)+T(v),T(u)+T(v)\rangle =\\&=\|T(u)\|^{2}+2\langle T(u),T(v)\rangle +\|T(v)\|^{2}=\|u\|^{2}+2\langle T(u),T(v)\rangle +\|v\|^{2}.\end{aligned}}$

Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen folgt daraus dann die Orthogonalität von $T$. Eine orthogonale Abbildung stellt damit eine Isometrie dar, das heißt

$d(T(u),T(v))=d(u,v)$,

wobei $d(u,v)=\|u-v\|$ die jeweils von der Norm induzierte Metrik ist.

Norm

Für die Operatornorm einer orthogonalen Abbildung gilt aufgrund der Normerhaltung

$\|T\|=\sup _{\|v\|=1}\|T(v)\|=\sup _{\|v\|=1}\|v\|=1$.

Eine orthogonale Abbildung ist demnach immer beschränkt und damit stetig.

Hintereinanderausführung

Sind $S\colon U\to V$ und $T\colon V\to W$ zwei orthogonale Abbildungen, dann ist auch auch ihre Hintereinanderausführung $T\circ S$ orthogonal, denn es gilt für alle $u,v\in U$

$\langle (T\circ S)(u),(T\circ S)(v)\rangle =\langle T(S(u)),T(S(v))\rangle =\langle S(u),S(v)\rangle =\langle u,v\rangle$.

Die bijektiven orthogonalen Abbildungen $T\colon V\to V$ bilden demnach eine Untergruppe der Automorphismengruppe $\mathrm {Aut} (V)$. Ist $V$ endlichdimensional mit der Dimension $n$, so ist diese Gruppe isomorph zur orthogonalen Gruppe $\mathrm {O} (n)$.

Orthogonale Operatoren

Ist speziell $V=W$, dann stellt eine orthogonale Abbildung $T\colon V\to V$ einen Endomorphismus dar, der auch als orthogonaler Operator bezeichnet wird.

Basistransformation

Ist $V$ ein reeller Hilbertraum, also ein vollständiger Skalarproduktraum, mit Hilbertraumbasis $\{v_{i}\}$ und ist $T$ ein orthogonaler Operator, dann ist $\{T(v_{i})\}$ wiederum eine Hilbertraumbasis von $V$, denn es gilt

$\langle T(v_{i}),T(v_{j})\rangle =\langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}$.

Sind umgekehrt $\{v_{i}\}$ und $\{T(v_{i})\}$ Hilbertraumbasen von $V$, so folgt daraus die Orthogonalität von $T$, denn man erhält

${\begin{aligned}\langle T(v),T(w)\rangle &=\langle T({\textstyle \sum }\lambda _{i}v_{i}),T({\textstyle \sum }\mu _{j}w_{j})\rangle =\langle {\textstyle \sum }\lambda _{i}T(v_{i}),{\textstyle \sum }\mu _{j}T(w_{j})\rangle ={\textstyle \sum }{\textstyle \sum }\lambda _{i}\mu _{j}\langle T(v_{i}),T(w_{j})\rangle =\\&={\textstyle \sum }{\textstyle \sum }\lambda _{i}\mu _{j}\delta _{ij}={\textstyle \sum }{\textstyle \sum }\lambda _{i}\mu _{j}\langle v_{i},w_{j}\rangle =\langle {\textstyle \sum }\lambda _{i}v_{i},{\textstyle \sum }\mu _{j}w_{j}\rangle =\langle v,w\rangle .\end{aligned}}$

Normalität

Ist $V$ ein reeller Hilbertraum, dann ist der inverse Operator $T^{-1}$ eines bijektiven orthogonalen Operators gleich seinem adjungierten Operator $T^{\ast }$, also

$T^{-1}=T^{\ast }$,

denn es gilt

$\langle T(u),v\rangle =\langle T(u),T(T^{-1}(v))\rangle =\langle u,T^{-1}(v)\rangle$.

Damit ist ein bijektiver orthogonaler Operator stets normal, da dann

$T^{\ast }T=TT^{\ast }=I$

gilt. Für selbstadjungierte orthogonale Operatoren gilt der Spektralsatz.

Eigenwerte

Die Eigenwerte eines orthogonalen Operators $T$ sind nicht notwendigerweise alle reell. Ist jedoch $\lambda \in \mathbb {C}$ ein Eigenwert von $T$ (aufgefasst als Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen) mit zugehörigem Eigenvektor $v$, so gilt

$\|v\|=\|T(v)\|=\|\lambda v\|=|\lambda |\,\|v\|$

und damit $|\lambda |=1$. Die Eigenwerte eines orthogonalen Operators haben also alle den komplexen Betrag eins und sind demnach von der Form

$\lambda =e^{it}$.

mit $t\in \mathbb {R}$. Ein orthogonaler Operator besitzt also höchstens die reellen Eigenwerte $\pm 1$. Die komplexen Eigenwerte treten immer paarweise komplex konjugiert auf, denn mit $\lambda$ ist aufgrund von

$T({\bar {v}})={\overline {T(v)}}={\overline {\lambda v}}={\bar {\lambda }}{\bar {v}}$.

auch ${\bar {\lambda }}=e^{-it}$ ein Eigenwert von $T$.

Siehe auch

• Orthogonale Polynome
• Orthogonalisierungsverfahren
• Orthogonalprojektion

Literatur

• Ina Kersten: Analytische Geometrie und lineare Algebra. Band 1. Universitätsverlag Göttingen, 2005, ISBN 978-3-938616-26-0. 
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, 2003, ISBN 978-3-11-017963-7. 
• Dietlinde Lau: Algebra und diskrete Mathematik. Band 1. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-19443-6. 

Weblinks

• T.S. Pigolkina: Orthogonal transformation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Todd Rowland: Orthogonal transformation. In: MathWorld (englisch).