Teilbarkeit

Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl a teilt eine Zahl b genau dann, wenn es mindestens eine ganze Zahl n gibt, für die gilt: a·n = b. Man sagt dann auch "a ist Teiler von b", "b ist teilbar durch a" und schreibt formal a | b.

Zum Beispiel gilt also 3 | 6, -2 | 8, 1 | -17 und 5 | 0.
Weiterhin gilt: 0 | 0 (gefordert ist, dass es mindestens eine ganze Zahl n gibt mit 0·n = 0; diese Forderung wird beispielsweise durch die Zahl 4711 erfüllt).
Die Zahlen 1 und -1 sind ein Teiler jeder ganzen Zahl, jede ganze Zahl ist ein Teiler der 0.

Weitere Begriffe zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Ist n eine natürliche Zahl und d ein Teiler von n, der größer als 1 und kleiner als n ist, dann nennt man d einen echten Teiler von n. Eine natürliche Zahl ohne echte Teiler nennt man Primzahl. Einen Teiler d von n, der eine Primzahl ist, nennt man Primteiler von n.

Jeder Teiler einer natürlichen Zahl n ist ein Produkt von Potenzen von Primteilern von n; dies folgt z.B. aus dem Fundamentalsatz der Arithmetik. Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen benutzt man verschiedene Faktorisierungsverfahren.

Die natürlichen Zahlen sind mit der Teilbarkeitsrelation eine halbgeordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die 1 (1 teilt jedes andere), das größte ist die 0 (0 wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln

Für die Teilbarkeit ganzer Zahlen gibt es eine Reihe von Teilbarkeitsregeln.

Die folgenden basieren auf der üblichen Darstellung der Zahlen im Zehnersystem:

Eine Zahl ist durch 2 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0,2,4,6 oder 8).
Eine Zahl ist durch 3 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
Eine Zahl ist durch 6 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar genau dann, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
Eine Zahl ist durch 11 teilbar genau dann, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 12 teilbar genau dann, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.

Für die Teilbarkeit durch 7 und 13 sind im Artikel Quersumme Regeln angegeben, die mit gewichteten Quersummen arbeiten.
Eine Zahl ist durch 2ⁿ teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird, durch 2ⁿ teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 5ⁿ teilbar genau dann, wenn die Zahl, die aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird, durch 5ⁿ teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 10ⁿ teilbar genau dann, wenn ihre letzten n Ziffern jeweils 0 sind.

Die folgenden Teilbarkeitsregeln beziehen sich auf andere Stellenwertsysteme:

Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form 2ⁿ-1 teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis 2ⁿ die Quersumme durch 2ⁿ-1 teilbar ist. Die Darstellung zur Basis 2ⁿ ergibt sich aus der Binärdarstellung, indem die Bits rechts beginnend in Gruppen von n Bit eingeteilt werden. Zum Beispiel ist 91 durch 7 teilbar, weil 91 = 001 011 011₂ = 133₈ die Quersumme 111₂ = 7 hat.
Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
Eine Zahl ist durch n teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als n-adische Zahl mit einer 0 endet.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Verallgemeinerung

Diesen Teilbarkeitsbegriff kann man auf kommutative Ringe erweitern. Ein Ring ist eine algebraische Struktur in der, ähnlich wie in ganzen Zahlen, Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist (für eine genaue Definition siehe der Artikel über Ringtheorie). Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Ist R ein kommutativer Ring und sind a, b ∈ R Ringelemente, dann ist a ein Teiler von b, falls ein weiteres Ringelement n ∈ R existiert mit a·n = b.

In Ringen teilt a genau dann b, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) das von (b) erzeugte umfasst, formal: a | b ⇔ (a) ⊃ (b).

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. (4) ⊃ (2), also ist 2 | 4.

Meist macht man Teilbarkeitsuntersuchungen in kommutativen Ringen, die eine neutrales Element 1 enhalten und nullteilerfrei sind, diese Ringe heißen Integritätsringe.

In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielswiese in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer 0 teilbar.

siehe auch: