Topologischer Raum

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Er besteht aus einer beliebigen Grundmenge, der durch Spezifizierung einer so genannten Topologie eine abstrakte mathematische Raumstruktur aufgeprägt wird. Eine Topologie ist eine Familie von als offen bezeichneten Teilmengen der Grundmenge, die folgenden Axiomen genügt:

1. Die leere Menge und die Grundmenge sind offene Mengen.
2. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
3. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Im Hinblick auf geometrische Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge oft als Punkte bezeichnet. Umgebungen eines Punktes werden dann definiert als alle Obermengen der offenen Mengen, die den Punkt enthalten. Umgekehrt charakterisieren die Umgebungen die offenen Mengen:

• Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält.

Literatur

H. Schubert: Topologie, Teubner, Stuttgart 1964, ISBN 3519122006