Rayleigh-Quotient

Gegeben sei die $(nxn)$-Matrix $A$. Dann ist der Rayleigh-Quotient zur Matrix $A$ definiert als

$R_{A}(x)={\frac {x^{T}Ax}{x^{T}x}}$

mit $x\neq {\vec {0}}$.

Das Ergebnis des Rayleigh-Quotient ist stets ein Skalar.

Der Rayleigh-Quotient hat eine enge Beziehung zu den Eigenwerten von $A$. Ist $x$ ein Eigenvektor von $A$, dann gilt:

$R_{A}(x)={\frac {x^{T}Ax}{x^{T}x}}={\frac {x^{T}\lambda x}{x^{T}x}}=\lambda$.

Durch den Rayleigh-Quotient wird also jeder Eigenvektor von $A$ auf den dazu gehörigen Eigenwert $\lambda$ abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter Anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt. Insbesondere gilt mit dem kleinsten Eigenwert,  :$\lambda _{min}$, und dem größten Eigenwert, $\lambda _{max}$, der Matrix $A$ $\lambda _{min}\leq R_{A}(x)\leq \lambda _{max}$.

Man kann des weiteren zeigen, dass die Eigenvektoren von $A$ die stationären Punkte des Rayleigh-Quotient bilden.