Quaternion

Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Erdacht wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Die Menge der Quaternionen wird meist mit $\mathbb {H}$ bezeichnet. (Man beachte jedoch, dass dieses Symbol je nach Kontext aber auch eine andere Bedeutung haben kann, siehe obere Halbebene und hyperbolischer Raum.)

Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation. Als vierdimensionale reelle Algebra sind die Quaternionen ein vierdimensionaler reeller Vektorraum. Daher ist jedes Quaternion durch vier reelle Komponenten $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}$ eindeutig bestimmt. Als Basiselemente dieses Vektorraums werden vier Elemente mit der Länge $1$ gewählt, die senkrecht aufeinander stehen; sie werden mit $1,i,j,k$ bezeichnet. Die Linearkombination der vier Komponenten mit den vier Basiselementen lautet also

$x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k$

Dabei ist $\mathbb {R}$ eingebettet als Elemente der Form $x_{0}$, also mit $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$. Die Menge der komplexen Zahlen kann auf verschiedene Weisen in die Quaternionen eingebettet werden; die Quaternionen sind jedoch keine $\mathbb {C}$-Algebra.

Rechenregeln

Überträgt man die aus den Körpern $\mathbb {R}$ (reelle Zahlenebene) und $\mathbb {C}$ (komplexe Zahlenebene) bekannten Operationen $+$ (Addition) und $\cdot$ (Multiplikation) auf $\mathbb {H}$, erhält man einen Schiefkörper. Die Addition ist dabei identisch mit der Addition des Vektorraums und die Skalarmultiplikation des Vektorraums wird für die Multiplikation übernommen. Dadurch ist zur Definition der Multiplikation nur noch das Produkt von Basiselementen des Vektorraums anzugeben (siehe Multiplikation).

Operationen über zwei Quaternionen

Addition	Multiplikation
$\left(x_{0}+x_{1}\cdot i+x_{2}\cdot j+x_{3}\cdot k\right)+{}\,$ $\left(y_{0}+y_{1}\cdot i+y_{2}\cdot j+y_{3}\cdot k\right)={}\,$ $\left(x_{0}+y_{0}\right)+\left(x_{1}+y_{1}\right)\cdot i+{}\,$ $\left(x_{2}+y_{2}\right)\cdot j+\left(x_{3}+y_{3}\right)\cdot k\,$	$\left(x_{0}+x_{1}\cdot i+x_{2}\cdot j+x_{3}\cdot k\right)\cdot {}\,$ $\left(y_{0}+y_{1}\cdot i+y_{2}\cdot j+y_{3}\cdot k\right)={}\,$ $\left(x_{0}\cdot y_{0}-x_{1}\cdot y_{1}-x_{2}\cdot y_{2}-x_{3}\cdot y_{3}\right)+{}\,$ $\left(x_{0}\cdot y_{1}+x_{1}\cdot y_{0}+x_{2}\cdot y_{3}-x_{3}\cdot y_{2}\right)\cdot i+{}\,$ $\left(x_{0}\cdot y_{2}-x_{1}\cdot y_{3}+x_{2}\cdot y_{0}+x_{3}\cdot y_{1}\right)\cdot j+{}\,$ $\left(x_{0}\cdot y_{3}+x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1}+x_{3}\cdot y_{0}\right)\cdot k$
ist assoziativ und kommutativ	ist assoziativ, aber nicht kommutativ

Die besondere Stellung der Komponente x₀ bezeichnet man analog zu den Komplexen Zahlen als Realteil oder Skalarteil $s=x_{0}$, während die Komponenten x₁, x₂ und x₃ Imaginärteil $x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k$ oder Vektorteil $v=(x_{1},x_{2},x_{3})$ genannt werden. Ein Quaternion, dessen Realteil 0 ist, nennt man reines Quaternion.

Darstellung als Matrix

Die Quaternionen können auch als Unterring des Rings ${\mathbb {C}}^{2\times 2}$ der komplexen $2\times 2$-Matrizen (alternativ auch als Unterring des Rings $\mathbb {R} ^{4\times 4}$ der reellen $4\times 4$-Matrizen) aufgefasst werden. Dabei setzt man

$1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	$I={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
$J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$	$K={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$

Als Ergebnis erhält man eine der folgenden Matrixdarstellungen:

Quaternion $a+b\cdot i+c\cdot j+d\cdot k$ als Matrix

2x2 komplex	4x4 reell
${\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}\;\;a&-b&\;\;d&-c\\\;\;b&\;\;a&-c&-d\\-d&\;\;c&\;\;a&-b\\\;\;c&\;\;d&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}$

Hamilton-Regeln

Für Quaternionen gelten die folgenden Hamilton-Regeln:

$i\cdot j=k$	$j\cdot k=i$	$k\cdot i=j$
$j\cdot i=-k$	$k\cdot j=-i$	$i\cdot k=-j$

Zusätzlich folgt aus den Verknüpfungsregeln $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\,$ und $i\cdot j\cdot k=-1$.

Daraus ergibt sich die folgende Multiplikationstabelle:

Multiplikations- tabelle

· 1 i j k 1 1 i j k i i −1 k −j j j −k −1 i k k j −i −1

Addition

Die Addition ist die einfachste Rechenregel für Quaternionen. Man braucht lediglich die Komponenten einzeln zu addieren:

$(a_{1}+i\,b_{1}+j\,c_{1}+k\,d_{1})+(a_{2}+i\,b_{2}+j\,c_{2}+k\,d_{2})={\,}$

$(a_{1}+a_{2})+i\,(b_{1}+b_{2})+j\,(c_{1}+c_{2})+k\,(d_{1}+d_{2})$

Subtraktion

Da die Addition der Quaternionen kommutativ ist, geht man bei der Subtraktion analog zur Addition vor und subtrahiert die einzelnen Komponenten:

$(a_{1}+i\,b_{1}+j\,c_{1}+k\,d_{1})-(a_{2}+i\,b_{2}+j\,c_{2}+k\,d_{2})={\,}$

$(a_{1}-a_{2})+i\,(b_{1}-b_{2})+j\,(c_{1}-c_{2})+k\,(d_{1}-d_{2})$

Multiplikation

Die Multiplikation von Quaternionen leitet sich aus der Multiplikation der komplexen Zahlen ab.

$q_{1}\,q_{2}=(a+i\,b)\,(c+i\,d)=(a\cdot c-b\cdot d)+i(a\cdot d+b\cdot c)$

In der Matrixdarstellung sieht dies folgendermaßen aus:

$(a,b)\,(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Im Fall der Quaternionen wird als b und d ein dreidimensionaler Vektor verwendet und das Kreuzprodukt dieser Vektoren addiert.

$(a+i{\vec {B}})\,(c+i{\vec {D}})=(a\,c-{\vec {B}}\,{\vec {D}})+i(a\,{\vec {D}}+{\vec {B}}\,c+{\vec {B}}\times {\vec {D}})$

Und in der Darstellung als Matrix:

$(a,{\vec {B}})\,(c,{\vec {D}})=(a\,c-{\vec {B}}\,{\vec {D}},{\vec {B}}\,c+{\vec {B}}\times {\vec {D}})$

Merke: (erste minus letzte, außen plus innen plus kreuz)

Es entsteht also bei der Multiplikation reiner Quaternionen $q_{a}$ und $q_{b}$ ein Quaternion $q$, dessen Skalarteil $S(q)=-q_{a}\,q_{b}$ bis auf das Vorzeichen dem Skalarprodukt der beiden Vektorteile entspricht, während der Vektorteil $V(q)=q_{a}\times q_{b}\,$, das Vektorprodukt der Vektorteile von $q_{a}$ und $q_{b}$ ist.

Die einzelnen Vektoren $(x,y,z)$ werden hierbei in der Form $(ix+jy+kz)$ ausgedrückt. Aus dem Einsetzen dieser Vektoren erhält man die oben dargestellten Regeln für die Multiplikation der Quaternionen.

Aufgelöst ergibt sich daher für die Multiplikation:

$(a_{1}+i\,b_{1}+j\,c_{1}+k\,d_{1})\,(a_{2}+i\,b_{2}+j\,c_{2}+k\,d_{2})={}$

$\left(a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2}-c_{1}\cdot c_{2}-d_{1}\cdot d_{2}\right)+{}\,$

$i\,\left(a_{1}\cdot b_{2}+b_{1}\cdot a_{2}+c_{1}\cdot d_{2}-d_{1}\cdot c_{2}\right)+{}\,$

$j\,\left(a_{1}\cdot c_{2}-b_{1}\cdot d_{2}+c_{1}\cdot a_{2}+d_{1}\cdot b_{2}\right)+{}\,$

$k\,\left(a_{1}\cdot d_{2}+b_{1}\cdot c_{2}-c_{1}\cdot b_{2}+d_{1}\cdot a_{2}\right)$

Im Spezialfall, dass ein Quaternion $q_{\delta t}$, bestehend aus der Ableitung der Zeit

${\frac {\delta }{\delta t}}$

und dem Nabla-Operator

$\nabla =i{\frac {\delta }{\delta x}}+j{\frac {\delta }{\delta y}}+k{\frac {\delta }{\delta z}}$,

mit einem anderen Quaternion $q_{x}$ multipliziert wird, enthält man die zeitbasierte Ableitung des Skalars, sowie 3-Vektorfunktionen welche die Abweichung vom Ursprung (Offset), Steigung und Biegung einer Bewegung enthalten.

$q_{\delta t}\,q_{x}=\left({\frac {\delta }{\delta t}},\nabla \right)\,\left(c,{\vec {D}}\right)=\left({\frac {\delta c}{\delta t}}-{\vec {\nabla }}\,{\vec {D}},{\frac {\delta {\vec {D}}}{\delta t}}+{\vec {\nabla }}\,c+{\vec {\nabla }}\times {\vec {D}}\right)$

Dies ist eine sehr kompakte Darstellung um etwa eine ballistische Flugbahn darzustellen.

Punktprodukt

Das Punktprodukt, oder Euklidsches inneres Produkt, entspricht dem Punktprodukt einses 4-wertigen Vektors.

$q_{1}\cdot q_{2}=a_{1}\,a_{2}+b_{1}\,b_{2}+c_{1}\,c_{2}+d_{1}\,d_{2}$

Man kann das Punktprodukt in das Grassmann Produkt (dh. eine Multiplikation) umformen:

$q_{1}\cdot q_{2}={\frac {{\overline {q_{1}}}\,q_{2}+{\overline {q_{1}}}\,q_{2}}{2}}$

Punktprodukte sind nützlich, wenn man ein einzelnes Element eines Quaternions isolieren möchte:

$q\cdot i=b$

Division

Die Division zweier Quaternionen wird nicht mit einem Bruchstrich, sondern unter Verwendung eines negativen Exponenten dargestellt. Der Grund dafür ist, dass die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ ist und man daher zwischen $q_{1}\cdot q_{2}^{-1}$ und $q_{2}^{-1}\cdot q_{1}$ unterscheiden muss.

Wenn die einzelnen Elemente des Quaternion eine Längeneinheit besitzen bzw. das Quaternion normalisiert wurde, so gilt:

$q^{-1}={\bar {q}}$

Wobei ${\bar {q}}$ die Konjugation des Quaternions $q$ ist. Daher gilt:

$q\cdot {\bar {q}}=1$

Wenn das Quaternion eine andere Einheit besitzt, teilt man das konjungierte Quaternion durch einen skalaren Wert, welcher sich aus dem Quadrat der Amplitude des Quaternions ergibt:

$q^{-1}={\frac {\bar {q}}{\left|q^{2}\right|}}$

Ausgeschrieben ergibt sich die folgende Form:

$(a+i\,b+j\,c+k\,d)^{-1}={\frac {\left(a-i\,b-j\,c-k\,d\right)}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)}}$

Der Beweis ergibt sich aus der einfachen Umformung der Division in eine Multiplikaion:

$q\cdot {\bar {q}}=\left|q^{2}\right|$

Konjugation

Die Konjugation eines Quaternions hat den selben Skalarteil. Jedoch sind die Vorzeichen aller komplexen Teile - dh. der einzelnen Komponenten des Vektorteils - negiert:

${\overline {q}}=q^{*}={\overline {\left(a+i\,b+j\,c+k\,d\right)}}={\left(a-i\,b-j\,c-k\,d\right)}$

Wenn man ein Quaternion mit seiner Konjugation das Punktprodukt bildet erhält man eine reelle Zahl, aus der man den Betrag des Quaternions bilden kann:

$q\cdot {\overline {q}}={\left(a+i\,b+j\,c+k\,d\right)}\cdot {\overline {\left(a-i\,b-j\,c-k\,d\right)}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$

Es gilt zudem:

${\overline {q_{1}\cdot q_{2}}}={\overline {q_{1}}}\cdot {\overline {q_{2}}}$

Die Konjugation eines Quaternions, welches eine Drehung darstellt, führt zu einer Drehung in die entgegengesetzte Richtung.

Drehungen

Quaternionen können zur Darstellung von Drehungen im dreidimensionalen Raum verwendet werden. Drehungen werden hierbei mit Hilfe von Multiplikationen durchgeführt.

Drehungen von Quaternionen haben durch die drei dargestellten Dimensionen $(x\,y\,z)$ drei Freiheitsgrade $(\gamma \,\phi \,\theta )$. Die einzelnen Freiheitsgrade stehen dabei jeweils für eine Drehung um eine der Achsen.

Ein Quaternion, welches lediglich eine Drehung darstellen soll, muss normiert werden, so dass

$q\cdot {\overline {q}}={\overline {q}}\cdot q=1$

gilt.

Die Drehung mit Hilfe eines solchen normierten Quaternions $q$ multipliziert mit einem Punkt $p$ im Raum und dem konjungierten Quaternion ${\overline {q}}$ ergibt die neue Position für den Punkt $p'$. Bei dieser Art der Drehung werden keine Matrizen benötigt.

$p'=q\cdot p\cdot {\overline {q}}$

Durch Einsetzen des Punktes $p$ und des Quaternions $q$ (in vektorieller Schreibweise) erhält man:

$p'={\begin{pmatrix}w_{q}\\x_{q}\\y_{q}\\z_{q}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\x\\y\\z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{q}\\-x_{q}\\-y_{q}\\-z_{q}\end{pmatrix}}$

Durch Auflösen und Vereinfachen in eine dreidimensionale Darstellung dieser Gleichung erhält man hieraus die folgende Matrixdarstellung:

$p'={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{q}^{2}+w_{q}^{2}-y_{q}^{2}-z_{q}^{2}&2\cdot (x_{q}\cdot y_{q}-w_{q}\cdot z_{q})&2\cdot (x_{q}\cdot z_{q}+w_{q}\cdot y_{q})\\2\cdot (w_{q}\cdot z_{q}+x_{q}\cdot y_{q})&w_{q}^{2}-x_{q}^{2}+y_{q}^{2}-z_{q}^{2}&2\cdot (y_{q}\cdot z_{q}-w_{q}\cdot x_{q})\\2\cdot (x_{q}\cdot z_{q}-w_{q}\cdot y_{q})&2\cdot (w_{q}\cdot x_{q}+y_{q}\cdot z_{q})&w_{q}^{2}-x_{q}^{2}-y_{q}^{2}+z_{q}^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

Achsenwinkel Darstellung

Ein Quaternion, welches eine Drehung darstellt, ist normalisiert und wird in der Achsenwinkel-Darstellung folgenermaßen dargestellt:

$q_{r}=w_{q}+i\,x_{q}+j\,y_{q}+k\,z_{q}$

$q_{r}=\cos {\frac {\alpha }{2}}+i\,x\,\sin {\frac {\alpha }{2}}+j\,y\,\sin {\frac {\alpha }{2}}+k\,z\,\sin {\frac {\alpha }{2}}$

Hierbei gilt:

• α ist der Drehwinkel
• (x,y,z) ist ein normalisierter Vektor, der die Drehachse darstellt. Beispielsweise ergibt der Vektor (1,0,0) eine Drehung um die X-Achse und der Vektor (0,1,0) eine Drehung um die Y-Achse.

Diese Art der Darstellung leitet sich von der Achsenwinkel-Darstellung der Drehungen im zweidimensionalen Raum ab.

Das Quaternion i stellt somit eine Drehung von 180° um die X-Achse, j eine Drehung von 180° um die Y-Achse und k eine Drehung von 180° um die Z-Achse dar. Somit entspricht $i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=-1$ einer Drehung von 360° um die jeweilige Achse.

	Komplexe Zahl	Quaternion
Darstellung	2D-Vektor	3D-Drehung
Drehung um i	90°	180°
Kombination von Rechenoperationen	Addition	Multiplikation

Dies führt dazu, dass das Quaternion $(a+ib+jc+kd)$ dieselbe Drehung wie das Quaternion $(-a-ib-jc-kd)$ darstellt. Die Quaternionen $1$ und $-1$ sind daher die IdentitätsDrehung (d.h. keine Änderung der Lage). Ein Quaternion, das um 360° gedreht wird, wird invertiert. Ein Quaternion ist also auch ein sogenannter Spinor.

siehe auch: Drehmatrix

Negation und Konjugation

Auswirkung von Negation und Konjugation auf die Drehung

Quaternion	Drehung
$q_{r}=(w+i\,x+j\,y+k\,z)$	$q_{r}\cdot q_{A}\to q_{B}$
${\overline {q_{r}}}=(w-i\,x-j\,y-k\,z)$	${\overline {q_{r}}}\cdot q_{B}\to q_{A}$
$-{\overline {q_{r}}}=(-w+i\,x+j\,y+k\,z)$	$-{\overline {q_{r}}}\cdot q_{B}\to q_{A}$1
$-q_{r}=(-w-i\,x-j\,y-k\,z)$	$-q_{r}\cdot q_{A}\to q_{B}$1
colspan="2" Vorlage:Highlight2|1Gilt nicht für Fermionen. Diese benötigen eine 720° Drehung um in die Ausgangslage zurück zu kommen.

Spiegelung

Eine Spiegelung kann als eine spezielle Form der Drehung aufgefasst werden und wird durch einen negativen Skalarteil ausgedrückt:

$q_{sp}=-1$

Betrag des Quaternions

Der Betrag (bzw. die Länge) eines Quaternions entspricht dem Betrag eines vierdimensionalen Vektors. Daher gilt die Formel:

${\|q\|}={\|a+i\,b+j\,c+k\,d\|}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}$

Weiters gilt:

${\|q\|}={\sqrt {q\cdot q}}={\sqrt {{\overline {q}}\,q}}$

Normiertes Quaternion

Ein normiertes Quaternion (oder Einheitsquaternion) ist ein Quaternion mit einem Betrag von Eins. Es gilt daher:

$\|q_{n}\|=1$

Wobei $q_{n}$ das normierte Quaternion ist. Das normierte Quaternion gibt also nur eine Richtung, jedoch keine spezifische Länge an. Man erhält es wenn man die einzelnen Komponenten des Quaternions durch seinen Betrag teilt:

$q_{n}={\frac {\vec {q}}{\|q\|}}={\frac {(a\,b\,c\,d)}{\|q\|}}=\left({\frac {a}{\|q\|}}+i\,{\frac {b}{\|q\|}}+j\,{\frac {c}{\|q\|}}+k\,{\frac {d}{\|q\|}}\right)$

Für ein normalisiertes Quaternion gilt:

${\frac {1}{q_{n}}}={\overline {q_{n}}}$

Dadurch werden Divisionen von Quaternionen wesentlich vereinfacht.

Das zugrundeliegende Prinzip ist dabei das selbe wie bei einer orthogonalen Matrix welche ebenfalls zur Repräsentation von Drehungen verwendet werden können.

siehe auch: Einheitsvektor, Normierter Raum

Umwandlung von Drehungs-Quaternionen

Quaternionen, die eine Drehung darstellen, können bei Bedarf in verschiedene Darstellungsformen konvertiert werden.

Matrixdarstellung

Um ein normalisiertes Quaternion $q_{dreh}$, welches eine Drehung darstellt, in eine Drehmatrix $M_{dreh}$ umzuwandeln, kann man die folgende Umwandlung verwenden:

${\vec {q_{dreh}}}={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}\to M_{dreh}={\begin{pmatrix}1-2\,(y^{2}+z^{2})&2\,(x\,y-z\,w)&2\,(x\,z+y\,w)\\2\,(x\,y+z\,w)&1-2\,(x^{2}+z^{2})&2\,(y\,z-x\,w)\\2\,(x\,z-y\,w)&2\,(y\,z+x\,w)&1-2\,(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}$

mit $w+x+y+z=1$

Umgekehrt kann man diese Matrix wieder zurück in ein Quaternion umwandeln:

$M_{dreh}={\begin{pmatrix}m_{0,0}&m_{0,1}&m_{0,2}\\m_{1,0}&m_{1,1}&m_{1,2}\\m_{2,0}&m_{2,1}&m_{2,2}\end{pmatrix}}\to {\vec {q_{dreh}}}={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {1+m_{0,0}+m_{1,1}+m_{2,2}}}{2}}\\{\frac {m_{2,1}-m_{1,2}}{4\cdot w}}\\{\frac {m_{0,2}-m_{2,0}}{4\cdot w}}\\{\frac {m_{1,0}-m_{0,1}}{4\cdot w}}\\\end{pmatrix}}$

für $m_{0,0}+m_{1,1}+m_{2,2}+1>0$

Achsenwinkel Darstellung

Um ein Quaternion $q_{d}$, welches eine Drehung darstellt, in seine Achsenwinkel-Darstellung $q_{w}$ umzuwandeln, kann man das folgende Gleichungssytem verwenden:

${\vec {q_{d}}}={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}\to {\vec {q_{w}}}={\begin{pmatrix}\cos {\frac {\alpha }{2}}\\x_{w}\,\sin {\frac {\alpha }{2}}\\y_{w}\,\sin {\frac {\alpha }{2}}\\z_{w}\,\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{pmatrix}}$

$\alpha =2\cdot \operatorname {acos} \,w$

$x_{w}={\frac {x}{\sqrt {1-w^{2}}}}$

$y_{w}={\frac {y}{\sqrt {1-w^{2}}}}$

$z_{w}={\frac {z}{\sqrt {1-w^{2}}}}$

Die Umkehrung ergibt sich durch Einsetzen und Auflösung der Gleichung. Allerdings muss für die Umkehrung sowohl die Drehachse als auch das resultierende Quaternion normalisiert sein:

$x_{w}^{2}+y_{w}^{2}+z_{w}^{2}=1$

$\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+x_{w}^{2}\,\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+y_{w}^{2}\,\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+z_{w}^{2}\,\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}=1$

Euler-Winkel Darstellung

Um ein Quaternion $q=w+i\,x+j\,y+k\,z$, das eine Drehung darstellt, in die einzelnen Eulerwinkel umzuwandeln, kann man die folgende Gleichung verwenden:

${\begin{pmatrix}\theta \\\phi \\\psi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {arg} {\left[2\cdot (y\cdot w-x\cdot z),\,1-2\cdot (y^{2}+z^{2})\right]}\\\operatorname {asin} {\left[2\cdot (x\cdot y+z\cdot w)\right]}\\\operatorname {arg} {\left[2\cdot (x\cdot w-y\cdot z),\,1-2\cdot (x^{2}+z^{2})\right]}\end{pmatrix}}$

Diese Gleichung jedoch gilt nicht für die beiden Pole $x\cdot y+z\cdot w=\pm 0{,}5$.

Siehe auch: arg

Umgekehrt gilt:

$q={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}\cdot k_{2}\cdot k_{3}-s_{1}\cdot s_{2}\cdot s_{3}\\s_{1}\cdot s_{2}\cdot k_{3}+k_{1}\cdot k_{2}\cdot s_{3}\\s_{1}\cdot k_{2}\cdot k_{3}+k_{1}\cdot s_{2}\cdot s_{3}\\k_{1}\cdot s_{2}\cdot k_{3}-s_{1}\cdot k_{2}\cdot s_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {1+K_{1}\cdot K_{2}+K_{1}\cdot K_{3}-S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}+K_{2}\cdot K_{3}}}{2}}\\{\frac {K_{2}\cdot S_{3}+K_{1}\cdot S_{3}+S_{1}\cdot S_{2}\cdot K_{3}}{4\cdot w}}\\{\frac {S_{1}\cdot K_{2}+S_{1}\cdot K_{3}+C_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}}{4\cdot w}}\\{\frac {-S_{1}\cdot S_{3}+K_{1}\cdot S_{2}\cdot K_{3}+S_{2}}{4\cdot w}}\end{pmatrix}}$

$k_{1}=\cos {\frac {\theta }{2}}$	$k_{2}=\cos {\frac {\phi }{2}}$	$k_{3}=\cos {\frac {\psi }{2}}$
$s_{1}=\sin {\frac {\theta }{2}}$	$s_{2}=\sin {\frac {\phi }{2}}$	$s_{3}=\sin {\frac {\psi }{2}}$
$K_{1}=\cos \theta \,$	$K_{2}=\cos \phi \,$	$K_{3}=\cos \psi \,$
$S_{1}=\sin \theta \,$	$S_{2}=\sin \phi \,$	$S_{3}=\sin \psi \,$

Funktionen

Vorzeichen

$sgn(p)={\frac {p}{\|p\|}}$

Skalarteil

$\operatorname {Skalar} (p)={\frac {p+{\overline {p}}}{2}}=a$

Vektorteil

$\operatorname {Vektor} (p)={\frac {p-{\overline {p}}}{2}}={\vec {u}}=bi+cj+dk$

Quaternion-Argument

$\arg(p)=\arccos \left({\frac {\operatorname {Scalar} (p)}{|p|}}\right)$

Exponenten und Logarithmus

Durch die Möglichkeit Quaternionen zu teilen, kann man exponentielle und logarithmische Funktionen definieren.

• Natürlicher Exponent:

  $\exp(p)=\exp(a)(\cos(|{\vec {u}}|)+\operatorname {sgn}({\vec {u}})\sin(|{\vec {u}}|))$

• Natürlicher Logarithmus:

  $\ln(p)=\ln(|p|)+\operatorname {sgn}({\vec {u}})\arg(p)$

• Exponent:

  $p^{q}=\exp(\ln(p)q)\,$

Trigonometrie

Auch trigonomentrische Funktionen lassen sich definieren.

• Sinus:

  $\sin(p)=\sin(a)\cosh(|{\vec {u}}|)+\cos(a)\operatorname {sgn}({\vec {u}})\sinh(|{\vec {u}}|)$

• Kosinus:

  $\cos(p)=\cos(a)\cosh(|{\vec {u}}|)-\sin(a)\operatorname {sgn}({\vec {u}})\sinh(|{\vec {u}}|)$

• Tangens:

  $\tan(p)={\frac {\sin(p)}{\cos(p)}}$

Wie auch die entsprechenden Umkehrfunktionen.

• Arkussinus:

  $\arcsin(p)=-\operatorname {sgn}({\vec {u}})\operatorname {arcsinh} (p\operatorname {sgn}({\vec {u}}))$

• Arkuskosinus:

  $\arccos(p)=-\operatorname {sgn}({\vec {u}})\operatorname {arccosh} (p)$

• Arkustangens:

  $\arctan(p)=-\operatorname {sgn}({\vec {u}})\operatorname {arctanh} (p\operatorname {sgn}({\vec {u}}))$

Hyperbel

Zusätzlich lassen sich die folgenden Hyperbelfunktionen definieren:

• Sinus Hyperbolikus:

  $\sinh(p)=\sinh(a)\cos(|{\vec {u}}|)+\cosh(a)\operatorname {sgn}(|{\vec {u}}|)\sin(|{\vec {u}}|)$

• Kosinus Hyperbolikus:

  $\cosh(p)=\cosh(a)\cos(|{\vec {u}}|)+\sinh(a)\operatorname {sgn}(|{\vec {u}}|)\sin(|{\vec {u}}|)$

• Tangens Hyperbolikus:

  $\tanh(p)={\frac {\sinh(p)}{\cosh(p)}}$

Dazu die jeweiligen Inversen:

• Inverser Sinus Hyperbolikus:

  $\operatorname {arcsinh} (p)=\ln(p+{\sqrt {p^{2}+1}})$

• Inverser Kosinus Hyperbolikus:

  $\operatorname {arccosh} (p)=\ln(p+{\sqrt {p^{2}-1}})$

• Inverser Tangens Hyperbolikus:

  $\operatorname {arctanh} (p)={\frac {\ln(1+p)-\ln(1-p)}{2}}$

Exponentialfunktion

Man kann für Quaternionen q eine Fortsetzung der Exponentialfunktion definieren:

$\exp(q):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k}}{k!}}$

Diese unendliche Reihe konvergiert für jedes Quaternion, und lässt sich in der Form

$\exp(a+q_{0})=e^{a}\cdot \exp(q_{0})$

schreiben, wobei $q=a+q_{0}$ ein Quaternion mit einer reellen Zahl a und einem reinen Quaternion $q_{0}$ ist.

Das Exponential eines reinen Quaternions $q_{0}=ix+jy+kz$ kann so berechnet werden:

$\exp(q_{0})=\cos |q_{0}|+{\frac {q_{0}}{|q_{0}|}}\cdot \sin |q_{0}|$

wobei

$|q_{0}|=|ix+jy+kz|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

ist. Diese Gleichung geht für $y=z=0$ in die Eulersche Identität über:

$\exp(ix)=\cos \left|x\right|+{\frac {i\cdot x}{\left|x\right|}}\cdot \sin \left|x\right|=\cos(x)+i\cdot \sin(x)$

Die Exponentialfunktion erfüllt für Quaternionen mit $ab=ba$ die Funktionalgleichung

$\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$.

Andernfalls ist das nicht garantiert, z.B. ist

$\exp(\pi i)\exp(\pi j)=(-1)\cdot (-1)=1$

aber

$\exp(\pi i+\pi j)=\cos(\pi {\sqrt {2}})+{\frac {i+j}{\sqrt {2}}}\sin(\pi {\sqrt {2}})\neq 1$.

Praktische Anwendungen

3D-Schnitt einer quaternionischen (4D-)Julia-Menge

Arthur Cayley entdeckte, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen. Genutzt wird dies heutzutage im Bereich der interaktiven Computergrafik, insbesondere bei Computerspielen, sowie bei der Steuerung und Regelung von Satelliten. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Drehmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere, wenn viele Drehungen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit. Des Weiteren werden Quaternionen zur Programmierung von Industrierobotern (z.B. ABB) genutzt.

In der Physik ist die Matrixalgebra, die von den Pauli-Matrizen aufgespannt wird, isomorph zu den Quaternionen. Insbesondere bilden die Einheitsquaternionen eine nichttriviale Überlagerung der 3-dimensionalen orthogonalen Gruppe SO(3), d.h. die Gruppe der Einheitsquaternionen ist isomorph zur Gruppe Spin(3).

Siehe auch: Spinor

Historisch bedeutsam ist, dass Maxwell sein Gleichungssystem 1873 ebenfalls in Quaternionen-Schreibweise publizierte.

Verwandte Themen

Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Namen "hyperkomplexe Zahlen" zusammengefasst. Beispielsweise sind die Cayley-Zahlen oder Oktaven ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen.

Literatur

• John H. Conway, Derek A. Smith, On Quaternios and Octonions, A K Peters Ltd, 2003, ISBN 1568811349 (englisch)
• Jack B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press, 2002, ISBN 0691102988 (englisch)
• W. Bolton, Complex Numbers (Mathematics for Engineers), Addison Wesley, 1996, ISBN 0582237416 (englisch)
• Jack B. Kuipers, J. B. Kuipers, Quaternions & Rotation Sequences, Princeton University Press, 1999, ISBN 0691058725 (englisch)
• Andrew J. Hanson, Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0120884003 (englisch)

Weblinks

• Hamilton's Quaternions – eine englische Einführung (Post Script)
• Doing Physics with Quaternions (PDF)
• Quaternionen in der Computeranimation