Eichtheorie

Unter einer Eichtheorie versteht man eine Feldtheorie, die auf einer Eichinvarianz beruht. Alle Quantenfeldtheorien sind Eichtheorien.

Was das genau bedeutet, sei im Folgenden am Beispiel der Elektrodynamik erläutert.

Bekanntlich lässt sich die Energie eines Teilchens in einem äußeren Potential schreiben als

$E={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}+V({\vec {x}})$

mit vorgegebenem Potential $V({\vec {x}})$.

Definiert man nun den Impuls als

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

so kann man die Energie auch schreiben als

$E={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {x}})$

Wenn man nach der Hamiltonschen Mechanik die Energie als Funktion von Ort und Impuls beschreibt, also

$E=H({\vec {x}},{\vec {p}})$

dann erhält man aus deren Ableitungen die Bewegungsgleichungen:

${\dot {x}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}$

Für die oben genannte Energie ergibt das

${\dot {x}}_{i}={\frac {p_{i}}{m}}=v_{i}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=F_{i}$

Wenn man zum Potential und zum Impuls jeweils noch einen konstanten Term hinzufügt, also definiert:

$V_{1}({\vec {x}})=V({\vec {x}})+V_{0}$

${\vec {p}}_{1}=m{\vec {v}}+{\vec {p}}_{0}$

und dann die Bewegung des Teilchens mittels der "Index-1-Größen" beschreibt, dann lautet die Energie

$E={\frac {({\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0})^{2}}{2m}}+(V_{1}({\vec {x}})-V_{0})$

und die Bewegungsgleichungen sind

${\dot {x}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial (p_{1})_{i}}}={\frac {(p_{1})_{i}-(p_{0})_{i}}{m}}=v_{i}$

$({\dot {p}}_{1})_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=-F_{i}$

Da außerdem

${\dot {\vec {p}}}={\dot {\vec {p}}}_{1}$

(denn Konstanten verschwinden ja in der Ableitung), sind das genau dieselben Bewegungsgleichungen.

Es ist also möglich, sowohl für die Energie als auch für den Impuls einen konstanten Offset festzulegen, ohne die dadurch beschriebene Physik zu verändern. Diese Tatsache nennt man globale Eichsymmetrie.

Nun stellt sich die Frage, ob man stattdessen auch nicht-konstante Größen aufaddieren kann, ohne die Bewegungsgleichungen zu verändern, also allgemein

$V_{1}(x)=V(x)+q\phi (x,t)$

${\vec {p}}_{1}(x)=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}(x,t)$

wobei die Konstante q herausgezogen wurde, weil es sich nachher als praktisch erweisen wird; für die Argumentation hat diese Tatsache aber keine Bedeutung.

Es ist unmittelbar klar, dass es nicht möglich ist, beliebige Funktionen für $\phi$ und ${\vec {A}}$ zu verwenden, da z.B. ein beliebiges $\phi$ wie ein zusätzliches Potential wirkt. Nimmt man für beide Größen beliebige Funktionen an, so zeigt Nachrechnen, dass die Bewegungsgleichungen gegeben sind durch

${\dot {\vec {x}}}={\vec {v}}$

${\dot {\vec {p}}}=q{\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {A}}-q{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-q\operatorname {grad} \phi -\operatorname {grad} V({\vec {x}})$

Dies sind aber gerade die Bewegungsgleichungen, die man erwarten würde, wenn das Teilchen die Ladung q hat und sich außer im Potential auch noch im elektrischen Feld

${\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-\operatorname {grad} \phi$

und im magnetischen Feld

${\vec {B}}=\operatorname {rot} {\vec {A}}$

bewegt.

Die Bewegung wird nun nicht geändert, wenn die Änderung von $\phi$ und ${\vec {A}}$ nicht die Felder ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$ ändert (also insbesondere die Felder auf Null lässt, wenn sie vorher Null waren). Da die Rotation eines Gradientenfeldes stets Null ist, ist klar, dass durch die Addition des Gradienten einer beliebigen orts- und zeitabhängigen skalaren Funktion zum Vektorpotential ${\vec {A}}$ nichts am magnetischen Feld geändert wird. Allerdings ändert dies das elektrische Feld um die Zeitableitung eben dieses Gradienten; diese Änderung kann jedoch kompensiert werden, indem das skalare Potential $\phi$ um die Zeitableitung derselben Funktion verringert wird.

Die Tatsache, dass man solche speziellen orts- und zeitabhängigen Funktionen hinzufügen kann, ohne die Physik (also die beschriebene Bewegung) zu ändern, nennt man lokale Eichsymmetrie.