Digitale Signalverarbeitung

Die digitale Signalverarbeitung (engl. digital signal processing oder DSP) ist ein Teilgebiet der allgemeinen Signalverarbeitung sowie der Systemtheorie und beschäftigt sich mit der Verarbeitung analoger Signale mit Hilfe digitaler Systeme. In einem engeren Sinne liegt ihr Schwerpunkt in der Speicherung, Übermittlung und Transformation von digitalen, zeitdiskreten Signalen.

Aufbau eines digitalen Signalverarbeitungs-Systems

Das Schaubild zeigt den typischen Aufbau eines Signalverarbeitungs-Systems, das hier der Vollständigkeit halber auch die beteiligten analogen Komponenten zeigt. Zum digitalen Signalverarbeitungs-System im engeren Sinne gehören nur die blaugrau gefärbten Komponenten im unteren Bildteil.

Verfolgen wir den Weg der Signale in der Grafik: Mittels eines Sensors werden häufig schwache Signale aufgenommen, die für die weitere Verarbeitung verstärkt werden. Aus dem verstärkten Analogsignal tastet der Abtast- und Halteverstärker in bestimmten Zeitintervallen Werte ab und hält sie während eines Intervalls konstant. Aus einer zeitkontinuierlichen Kurve wird so eine zeitdiskrete Kurve des Signals. Ein für eine gewisse Zeit konstantes Signal wird vom Analog-Digital-Wandler benötigt, um die diskreten digitalen Werte zu berechnen. Diese können dann vom digitalen Signalprozessor verarbeitet werden. Das Signal nimmt dann den umgekehrten Weg und kann über einen Aktor ggf. wieder in den technischen Prozess einfließen.

Objekt: Was ist ein Signal

Ein diskretes Signal ist, im Gegensatz zu den kontinuierlichen Funktionen der analogen Signalverarbeitung, eine Folge von digitalen Daten. Diese Folge entsteht meist in einem zeit- oder ortsperiodischen Messprozess. So wird zum Beispiel Schall über die Auslenkung einer Membran oder Verbiegung eines Piezo-Kristalls in eine elektrische Spannung umgewandelt und diese Spannung mittels eines AD-Wandlers zeitperiodisch wiederholt in digitale Daten konvertiert. Solch ein realistischer Messprozess ist endlich, die entstehende Folge besitzt einen Anfangsindex α und einen Endindex ω.

Wir können das Signal also als Datenstruktur (δ, a, ω, s) definieren, mit dem Abstand δ zwischen zwei Datenpunkten, den Indizes α<ω und der endlichen Folge (Array) s=(s_α,...,s_ω) der Daten.

Die Daten sind Instanzen einer Datenstruktur. Die einfachste Datenstruktur ist das Bit, am gebräuchlichsten sind (1, 2, 4 Byte-)Integer- und Floating-Point-Daten. Es ist aber auch möglich, dass das einzelne Datum selbst ein Vektor oder eine Folge ist, wie zum Beispiel wenn Farbinformation als (RGB-)Tripel oder (RGBA)-Quadrupel kodiert wird, oder dass das Signal s die Spalten s_k eines Rasterbildes enthält. Dabei ist die einzelne Spalte wieder ein Signal, welches zum Beispiel Grau- oder Farbwerte als Daten enthält.

Abstraktion eines Signals

Um in der Theorie Signale nicht nach Anfang und Ende gesondert betrachten zu müssen, werden die endlichen Folgen in den abstrakten Signalraum $\ell _{2}(V)$ eingebettet, ein abstraktes Signal ist also durch ein Paar (δ, s), δ>0, $s\in \ell _{2}(V)$, gegeben.

Dabei modelliert der euklidische Vektorraum V den Datentyp des Signals, zum Beispiel V=ℝ für einfache Daten, V=ℝ³ für RGB-Farbtripel. Ein Element in $\ell _{2}(V)$ ist eine doppelt unendliche Folge s:ℤ→V, k↦s_k. Die definierende Eigenschaft für den Folgenraum ist, dass die sog. Energie des Signals endlich ist, das heißt

$E:=\|s\|^{2}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\|s_{n}\|^{2}<\infty$.

Methoden: Transformation von Signalen

Die Bearbeitung digitaler Signale erfolgt durch Signalprozessoren, die aus einzelnen, fest verdrahteten elektronischen Schaltungen bis hin zu programmierbaren Universalprozessoren wie der CPU eines Computers bestehen können. Man nennt die erste Variante auch in Hardware, die zweite in Software realisierte Signalverarbeitung. Jede Hardwareschaltung kann durch einen genügend mächtigen Universalprozessor simuliert (nachgebildet) werden. Viele Möglichkeiten der digitalen Signalverarbeitung wären in Schaltungen der analogen Signalverarbeitung mit Operationsverstärkern und anderen analogen Bestandteilen völlig undenkbar. Mit DSP-Verfahren ist praktisch alles realisierbar, was sich mathematisch beschreiben lässt.

Das theoretische Modell der elektronischen Schaltung ist der Algorithmus. In der DSP werden Algorithmen wie Filter, Diskrete Fourier-Transformation, PID-Regelung eingesetzt. Dabei sind elementare Operationen, aus denen der Algorithmus zusammengesetzt ist, zum Beispiel die gliedweise Addition von Signalwerten, die gliedweise Multiplikation von Signalwerten mit einer Konstanten, die Verzögerung, das heißt Zeitverschiebung, eines Signals, sowie weitere mathematische Operationen, die periodisch aus einem Ausschnitt eines (oder mehrerer) Signals(e) einen neuen Wert generieren und aus diesen Werten ein neues Signal.

Abstrakte Transformationen: Filter

Abbildungen zwischen zwei Signalräumen werden allgemein Filter genannt. Eine erste Einschränkung ist die Forderung der Zeitinvarianz (TI für engl. "time independence") der Abbildung. Elementar kann diese realisiert werden, wenn einem Signal (δ, a) das gefilterte Signal (δ, b)=F(δ, a) zugeordnet wird, in welchem sich das Glied b_k aus einer d breiten Index--Umgebung von a_k berechnet, :b_k = f(a_k-d, ..., a_k, ..., a_k+d, und sowohl die Breite d als auch die Abbildung f vom Index k unabhängig sind. Zum Beispiel

• f(a_k-d, ..., a_k, ..., a_k+d) = max{a_k-d, ..., a_k} erzeugt einen Filter, der das Signals glättet,
• d=1, f(a_k-1, a_k, a_k+1) = a_k-1 erzeugt eine Verschiebung des Signals in Richtung wachsender Indizes.

TI-Filter F, die von einer linearen Abbildung f erzeugt werden,

f(a_k-d, ..., a_k, ..., a_k+d) = f_d(a_k-d) + ... + f₀(a_k) + f_-d(a_k+d)

nennt man Faltungsfilter. Sie sind ein Spezialfall der linearen zeitinvarianten Filter (LTI) und können auch als F(a)=f*a geschrieben werden.

LTI-Filter können im Orts- bzw. Zeitbereich oder im Frequenzbereich definiert und analysiert werden. Nichtlineare oder gar nicht zeitinvariante Filter wie Regelungen müssen im "Echtzeit-Betrieb" stattfinden, sie können nur im Zeitbereich betrachtet werden.

Ein LTI-Filter F kann im Zeitbereich mittels seiner Impulsantwortfunktion f={f_k}:=F(δ⁰) oder im Frequenzbereich mittels seiner Übertragungsfunktion (engl.: RAOs = Response Amplification Operator) ${\hat {f}}(\omega ):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{k}e^{i\omega k}$ analysiert und realisiert werden. Die Impulsantwort eines Faltungsfilters F(a)=f*a ist gerade F(δ⁰)=f.

Eine zentrale Rolle spielt die FFT-Routine, welche zwischen der Darstellung eines Signals im Zeitbereich und im Frequenzbereich vermittelt.

Filter allgemein:

• Hochpass
• Bandpass
• Tiefpass
• Goertzelfilter

 - dezimierendes Bandpassfilter

• Hilbertfilter

 - linearer Amplitudengang
 - Signalphase kann geändert werden.

Zur Realisierung der Filterarten gibt es mehrere Möglichkeiten.

• FIR-Filter (Finit Impuls Response)

 - Entspricht einer Faltung im Zeitbereich mit Imnpulsantwort

• IIR-Filter (Infint Impulse Response)

 - Rückgekoppeltes FIR-Filter

• Schnelle Faltung

 - Fouriertransformation des Signals mit anschließender Multiplikation der Übertragungsfunktion
   im Frequenzbereich.
 - Blockweise Verarbeitung mittels Overlap Add / Overlap Save Methode

Anwendungen der DSP-Technik sind äußerst vielfältig. Einige wenige Beispiele sind:

• Telefonie und Mobilfunk
• Musikelektronik
• Digitalfernsehen
• ANC (Active Noise Cancellation), zum Beispiel Schalltilgung in Automobilen
• Kernspintomographie
• Schiffbau und Offshoretechnik: Belastungen und Bewegungen von Schiffen und Offshore-Plattformen infolge Seegang im Modellversuch, Erzeugung von irregulärem Seegang und Wellenpaketen
• seismische Untersuchungen: Erzeugung dreidimensionaler Bilder von Öl- und Gasvorkommen durch Auswertung von Explosions-Echos
• Seegangs-Radar: Erfassung des Seegangs aus Wellenechos, Seegangsprognose ähnlich wie Wettervorhersage
• Bildanalyse: zum Beispiel Messung drei-dimensionaler Bewegungsabläufe durch Auswertung von Video-Aufnahmen

Weblinks

Wikibooks: Digitale Signalverarbeitung – Lern- und Lehrmaterialien

Weblinks

• E-DSP - DSP Grundkenntnisse.