Dirac-Impuls

Der Dirac-Impuls beschreibt die zeitliche Änderung einer Sprungfunktion.

Die Einheits-Sprungfunktion e(t) ist definiert als:

e(t)=0 für t<0 
 e(t)=1 für t>0 

Die zeitliche Änderung von e(t), ${\frac {d}{dt}}\ e(t)$, ist 0 für $t\neq 0$. Für t=0 ist sie unendlich, sie wird als Dirac-Impuls delta(t) bezeichnet: $\delta (t)={\frac {d}{dt}}e(t)$

Die Fourierzerlegung des Dirac-Impuls ergibt ein kontinuierliches Spektrum aller Frequenzen.

Datei:RechteckImpuls.jpg

Rechteck-Impuls

Anschaulich stellt man sich den Dirac-Impuls als eine Funktion vor, die fast überall den Wert 0 hat, und die nur in einem kleinen Intervall dx den Funktionswert deltay annimmt mit der Eigenschaft: dx · deltay=1 und anschließend das Intervall dx gegen 0 konvergieren läßt.

Datei:DiracImpuls.jpg

Dirac-Impuls

Umgangssprachlich: dx wird unendlich schmal, dafür deltay unendlich hoch, das Produkt bleibt endich und beträgt 1. Am Ende dieses Gedankenexperiments erhält man einen Graphen, den man wegen der unendlichen Amplitude nicht mehr zeichnen kann. Der rote senkrechte Pfeil in der Abbildung deutet wie üblich an, dass sich die Linie in dieser Richtung unendlich fortsetzt.

Dieser Grenzwert, als Integral geschrieben, lautet (Diracsche Deltafunktion):

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$

Allgemeiner:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)f(t)dt=f(0)$

bzw:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)f(\tau -t)dt=f(\tau )$

Anschaulich: das Integral über das Produkt einer Funktion mit der Diracschen Deltafunktion verschwindet überall, außer an der Stelle, an der die Deltafunktion nicht verschwindet,klar, dort nimmt es den Wert der Funktion an. Manchmal wird dies als die Ausblendeeigenschaft der Dirac-Funktion bezeichnet.