Vektorraum

Ein Vektorraum ist eine Menge V mit Elementen v, w, ..., genannt Vektoren, zusammen mit einer zweiten Menge K, einem Körper, mit Elementen a, b, ... genannt Skalaren. Die Lineare Algebra befasst sich speziell mit Vektorräumen.

In einem Vektorraum sind, zusätzlich zu den Verknüpfungen ⁺ und ^. des Körpers K, die folgenden Verknüpfungen + und * definiert:

Addition (+) zweier Vektoren, d.h. v + w ist wieder ein Vektor, wobei (V,+) eine abelsche Gruppe ist.

Multiplikation (*) eines Vektors mit einem Skalar ("S-Multiplikation"), d.h. a * v ist wieder ein Vektor.

Dabei müssen folgende Verträglichkeitsbedingungen zwischen den Verknüpfungen erfüllt sein :

Assoziativgesetz:

( a ^. b ) * v = a * ( b * v )

Distributivgesetze:

a * ( v + w ) = a * v + a * w

( a ⁺ b ) * v = a * v + b * v

Wenn 1 das multiplikativ neutrale Element von K ist, so folgt:

1 * v = v .

Wenn 0 das additiv neutrale Element von K ist, so folgt:

0 * v = 0 ( 0 ist dabei der "Nullvektor", das Neutralelement der Gruppe (V,+) ) .

Beispiele:

1. Anschauliche Vektorräume sind die 2-dimensionale Ebene oder der 3-dimensionale Raum mit den Pfeilklassen (Verschiebungen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.

v = ( 2 , 3 ) sei die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. w = ( 3 ,-5 ) sei die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung:

v + w = ( 5 ,-2 ), d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor ist 0 = ( 0 , 0 ), d.h. keine Verschiebung.

Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die S-Multiplikation:

a * v = 3 * ( 2 , 3 ) = ( 6 , 9 ). Diese Verschiebung ist das Dreifache der Verschiebung v.

2. Vektorräume können jedoch auch abstrakter aussehen. So kann V etwa die Menge der linearen Funktionen sein. Beispiele für lineare Funktionen sind etwa:

f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3x - 5 .

Die Summe zweier linearer Funktionen ist wieder eine lineare Funktion:

f(x) + g(x) = 2x + 3 + 3x - 5 = (2+3)x + (3-5) = 5x - 2 .

Der Nullvektor ist die Funktion

n(x) = 0x + 0 , d.h. n(x) = 0.

Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die S-Multiplikation:

a * f(x) = 3 * (2x + 3) = (3^.2)x + (3^.3) = 6x + 9.

3. Die Quantenmechanik arbeitet mit Hilberträumen, die Vektorräume spezieller Funktionen sind.