Zylinder (Geometrie)

Wenn in der Geometrie von einem Zylinder (v. griech.: kylíndein = rollen, wälzen) die Rede ist, handelt es sich häufig um einen (geraden) Kreiszylinder, wie er weiter unten abgebildet ist. Ein Kreiszylinder entsteht durch Verschiebung eines Kreises parallel zu einer Geraden durch den Kreismittelpunkt, der Achse, die nicht in der Ebene des Kreises liegt. Ein Kreiszylinder wird begrenzt von zwei parallelen Kreisflächen (Grundfläche und Deckfläche) und der so genannten Mantelfläche. Die Höhe des Zylinders ist gegeben durch den Abstand der Ebenen, in denen Grund- und Deckfläche liegen.

Varianten des Kreiszylinders

Man unterscheidet zwischen dem geraden Kreiszylinder, dessen Achse senkrecht zur Kreisebene liegt, und dem schiefen Kreiszylinder, bei dem das nicht der Fall ist. Dessen Querschnitt senkrecht zur Achse hat die Form einer Ellipse.

Wenn der Kreiszylinder eine Bohrung entlang seiner Achse besitzt so spricht man von einem Hohlzylinder.

Eigenschaften des Kreiszylinders

Gerader Kreiszylinders mit abgewickeltem Mantel

Das Volumen eines (geraden oder schiefen) Kreiszylinders berechnet sich aus dem Grundflächenradius r und der Höhe h:

V=\pi \cdot r^{2}\cdot h=A\cdot h

Für die Oberfläche eines geraden Kreiszylinders ergibt sich:

A_{O}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h+2\pi r^{2}=2\pi \cdot r(r+h)

Der Summand $2\pi \cdot r\cdot h$ in dieser Formel bezieht sich auf die Mantelfläche und ergibt sich daraus, dass diese zu einem Rechteck mit den Seitenlängen $2\pi \cdot r$ (Kreisumfang) und $h$ (Höhe) abwickelbar ist.

Zylinder im allgemeinen Sinne

Der Begriff des Kreiszylinders lässt sich auf naheliegende Weise verallgemeinern. Gegeben seien eine Kurve und eine Gerade im Raum. Betrachtet man alle Parallelen zu der gegebenen Geraden, die mit der gegebenen Kurve einen Punkt gemeinsam haben, zusammen, so bilden diese eine Fläche, die man als Zylinderfläche bezeichnet. Man beachte dabei, dass die gegebene Kurve (die so genannte Leitkurve) nicht in einer Ebene liegen muss. Ein Zylinder im allgemeinen Sinne ist ein Körper, der von einer solchen Zylinderfläche und zwei parallelen Ebenen begrenzt wird. Auch hier wird unterschieden zwischen dem geraden Zylinder und dem schiefen Zylinder.

Unter diese allgemeine Zylinderdefinition fallen beispielsweise Prismen und elliptische Zylinder.

Hohlzylinder

Ein Hohlzylinder ist ein hohler Abschnitt innerhalb eines geometrischen Körpers, welcher die Form eines Zylinders aufweist. Beim Zylinder (Technik) findet dieser seine Anwendung in der Praxis.

Volumenberechnung Zylinder liegend (Tank Problem)

Die Berechnung der Füllmenge eines liegenden Zylinder kann anhand der länge L, des Radius r sowie der vorliegenden Füllhöhe h vorgenommen werden.

Dabei ergibt sich:

$V=r^{2}\cdot L\cdot \left(\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)-\left((r-h)\cdot {\frac {\sqrt {2\cdot r\cdot h-h^{2}}}{r^{2}}}\right)\right)$

Datei:Tank.png

Teilweise gefüllter liegender Zylider (Tank)

als Excel Macro muss man folgene Funktionen erstellen:

Function tank_volumen(L As Double, r As Single, fill_h As Single) As Double

tank_volumen = r ^ 2 * L * (acos((r - fill_h) / r) - ((r - fill_h) * Sqr(2 * r * fill_h - fill_h ^ 2) / (r ^ 2)))

End Function Function acos(x As Double) As Double

If (x <> 1) Then

If (x <> -1) Then

acos = Atn(-x / Sqr(-x * x + 1)) + 2 * Atn(1)

Else

acos = 3.14159265358979

End If

Else

acos = 0

End If

End Function

--Baudl 23:55, 3. Jan 2006 (CET)

Siehe auch