Prozent

Einheit
Name	Prozent
Dimension	Eins
Zeichen	%
Formelzeichen	p
Benannt nach	lat. pro cento (für hundert)
Abgeleitet von	Eins
siehe auch: Promille

Nach der deutschen Norm DIN 5477 vom Februar 1983 kann bei »der Angabe von Quotienten von Zahlen oder Größen gleicher Dimension einschließlich des Geldes« der Zahlenwert durch Abspalten des Faktors 10^-2 umgeformt werden; hierbei wird der Faktor 10^-2 mit dem Zeichen % bezeichnet. Dieses Zeichen soll Prozent (von lat. pro = für; centum = hundert) oder Hundertstel gesprochen werden.

Das Zeichen % wird in der Informatik meist für die Operation Modulo (Rest aus der Division) verwendet.

In Gesetzestexten verwendet man üblicherweise die Ausdrücke »vom Hundert« (abgekürzt: vH) und »Prozentpunkt«. Die DIN-Norm empfiehlt jedoch, diese Ausdrücke (siehe Verständnis) zu vermeiden.

Definition

Ein Prozent ist der hundertste Teil eines Ganzen also: 1 % = 0,01

Verständnis

Um Prozentangaben in Texten verstehen zu können, muss man wissen worauf sich die Angabe bezieht und anhand des grammatikalischen Ausdrucks die verwendeten Rechenregeln ableiten können.

Bezug von Prozentangaben

Oft sind Angaben in Prozent missverständlich, wenn eine klare Angabe über die Bezugsgröße (was bedeutet 100 % ?) fehlt („eine Regenwahrscheinlichkeit von 30 %“, „eine relative Risikoreduktion von 25 %“). Ein weiteres Missverständnis kann entstehen, wenn bereits die Bezugsgröße in Prozent angegeben ist und man die hierauf bezogene Änderung in Prozentpunkten ausdrückt.

Ein weiteres Beispiel wo dies meist falsch angewendet wird ist die Mehrwertsteuer. Diese ist definiert durch den Wert eines Produktes (Netto) multipliziert mit dem sog. Mehrwertsteuersatz. Die Summe aus des Nettobetrages und der Mehrwertsteuer ergibt den Bruttobetrag:

Bruttobetrag = Nettobetrag + Mehrwertsteuer 
             = Nettobetrag + (Nettobetrag ∙ Mehrwertsteuersatz)

Vorlage:Highlight1\| Netto	Vorlage:Highlight1\| Mehrwertsteuer¹	Vorlage:Highlight1\| Brutto
100 €	100 € ∙ 20 % = 20 €	100 € + 20 € = 120 €
colspan="3" Vorlage:Highlight2\|¹Im Beispiel werden der Einfachheit halber der in Österreich zumeist verwendete Mehrwertseuersatz von 20% verwendet.

In der Praxis findet man oft Formulierungen wie

»Im Rechnungsbetrag sind 20% Mehrwertsteuer enthalten«
Diese Prozentangabe würde sich somit auf die Mehrwertsteuer (im Beispiel 20 €) selbst beziehen (das heißt 80% der Mehrwertsteuer fehlen).
»Die Mehrwertsteuer beträgt 20%«
Ist (zumeist) ebenfalls falsch, da eigentlich der Mehrwertsteuersatz gemeint ist.
»20% sind Mehrwertsteuer«
Im Bezug auf den Rechnungsbetrag ebenfalls falsch, da es sich beim Rechnungsbetrag um den Bruttowert handelt. Tatsächlich macht die Mehrwertsteuer im Beispiel rund 16,667% des Rechnungsbetrages aus.

Grammatikalische Ausdrücke

Im Sprachlichen muss man zwischen den Ausdrücken mal so (Positiv) und mal (Komparativ) sowie den Ausdrücken um und auf unterscheiden.

Vorlage:Highlight1\| Beispiel	Vorlage:Highlight1\| Bedeutung
Anton hat 3 Äpfel.	${\,}=3$
Berta hat 10 mal so viele Äpfel wie Anton¹.	$10\cdot 3=30$
Cäsar hat 10 mal mehr (Äpfel) als Anton¹.	$(3\cdot 10)+3=33$
Es gab letztes Jahr 6000 Autounfälle.	${\,}=6000$
Die Anzahl der Autounfälle¹ ist um 10% gestiegen.	$6000\cdot (100\%+10\%)=6600$
Die Anzahl der Autounfälle¹ ist auf 110% gestiegen.	$6000\cdot \left({\frac {110\%}{100\%}}\right)=6600$
colspan="2" Vorlage:Highlight2\|¹Bezugsgröße

Noch komplizierter wird der Sachverhalt beim Ausdruck mal weniger, wie die folgenden Beispiele belegen:

Vorlage:Highlight1\| Beispiel	Vorlage:Highlight1\| Bedeutung
Anna hat 3 Äpfel	${\,}=3$
Bernd hat 2 mal weniger Äpfel als Anna.¹	$3-(2\cdot 3)=-3$
Bernd hat ein halbes mal weniger (Äpfel) als Anton.	$3-(3\cdot 0{,}5)=1{,}5$
Claudia hat (noch) 2 mal weniger (Äpfel,) als Bernd (weniger Äpfel als Anton hat).¹	$3-(3\cdot 0{,}5)-(3\cdot 0{,}5)\cdot 2=-1{,}5$
colspan="2" Vorlage:Highlight2\|¹Aussage nicht sinnvoll, da Ergebnis negativ.

Solche Ausdrücke sollte man daher, aufgrund der Gefahr etwas durcheinander zu bringen, möglichst vermeiden.

Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten

Der Prozentwert 3,5 % beinhaltet dieselbe Information wie der Zahlenwert 0,035. Oft ist deswegen zu lesen, dass man den Zahlenwert mit 100 multiplizieren müsse, um auf den Prozentwert zu kommen. Das ist jedoch nur die halbe Wahrheit: Vielmehr ist eine Erweiterung von Zähler und Nenner um jeweils 100 durchzuführen. Das Prozentzeichen ersetzt dann die Erweiterung des Nenners um 100:

${\rm {Prozentwert}}={\rm {Zahlenwert}}={\frac {\rm {Zahlenwert\cdot 100}}{100}}=({\rm {Zahlenwert\cdot 100)\%}}$

Beispiele

Die Steigung (bzw. mit negativen Vorzeichen das Gefälle) kann in Prozent angegeben werden. Hierbei wird die Steigung S für eine Höhendifferenz h bei einer zurückgelegten Strecke L aus der Formel S = h l^-1 berechnet, wobei l die horizontale geradlinige Komponente der zurückgelegten Strecke L unter Venachlässigung der Erdkrümmung darstellt. Das Ergebnis besitzt die Einheit 1 und wird oft in Prozent angegeben. S = 1 = 100 % entspricht hierbei einem Steigungswinkel von 45°; dabei ist h = l und L ungefähr 1,414 mal l.

20 % = 20 Prozent = 0,2. Wenn zum Beispiel 20 % der Wähler die Partei A gewählt haben, dann bedeutet dies, dass durchschnittlich von 100 Wählern 20 die Partei A gewählt haben. Zugleich haben ²⁰/₁₀₀ = ¹/₅ aller Wähler diese Partei gewählt. Wenn zum Beispiel 25.000 gewählt haben sind 20 % = 5.000.

In dieser Rechnung nennt man 25.000 den Grundwert oder die Prozentbasis G, 20 den Prozentsatz p und 5.000 den Prozentwert W. Es gilt also allgemein:

W_{A}=G\cdot p_{A}.

In der Finanzmathematik wird das Symbol p in dieser Formel durch 100 geteilt. Damit will man die Umrechnung direkt in die Formel einbauen. Mathematisch betrachtet ist dies jedoch ein Rechenfehler bei der Umwandlung innerhalb eines Einheitensystems und ist nicht SI-Komform (siehe Umrechnung zwischen Zahlen- und Prozentwerten).

Die Summe aller Prozentsätze p_x muss hierbei immer 1 (100 %) ergeben; Die Summe aller Prozentwerte W_x ergibt den Grundwert:

{{\sum _{x}p_{x}}=1}{,}\,{{\sum _{x}W_{x}}=G}

Eingabe am Taschenrechner

Taschenrechner unterschiedlicher Bauart behandeln gleiche Angaben unterschiedlich. Die großen Hersteller Canon, Casio, Sharp und Texas Instruments haben in Taschenrechnern für das Finanzwesen eigene Implementierungen zum Rechnen mit Prozentsätzen implementiert. Dies führt jedoch zu einer Inkonsistenz bei den Rechnungen, so dass viele Personen dazu geneigt sind die %-Taste zu vermeiden oder sich an die Eigenheiten des verwendeten Taschenrechners anzupassen. Letzteres führt jedoch oft dazu, dass diese Personen mit anderen Taschenrechnern nicht umgehen können.

Modell	$4\cdot -5$	$1-5\,\%$	$1+5\,\%$
Canon WS-121H	-1	-80¹⁾	1,05³⁾
Casio MS-70_L	-1	-80	1,0526315
Casio MS-270_L	-1	-80	1,05²⁾
Casio JW-8_L	-1	0,95³⁾	1,05³⁾
Casio fx-85_VH	-1	-80	120
Casio fx-P401	-20³⁾	-80	120
Sharp EL-531GH	-1	0,95³⁾	1,05³⁾
Texas Instruments TI-36X II⁴⁾	-20³⁾	0,95³⁾	1,05³⁾
1) die Eingabe von $1+5\,\pm \,\%$ ergibt 0,95 2) wird als 1,0526315 berechnet, jedoch mit zwei Nachkommastellen angezeigt 3) mathematisch richtige Lösung 4) richtig implementiert, jedoch bei einfacheren Rechnern von Texas Instruments ähnliche Probleme

Siehe auch

Vorlage:Wiktionary1

Vorlage:Highlight1\| Netto	Vorlage:Highlight1\| Mehrwertsteuer¹	Vorlage:Highlight1\| Brutto
100 €	100 € ∙ 20 % = 20 €	100 € + 20 € = 120 €
colspan="3" Vorlage:Highlight2\|¹Im Beispiel werden der Einfachheit halber der in Österreich zumeist verwendete Mehrwertseuersatz von 20% verwendet.