Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt.

Definition

Für alle nichtnegativen ganzen Zahlen $n\in \mathbb {N} _{0}$ ist

$n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n$

Beispiele

• $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$
• $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$
• $0!=1$ (hier liegt das leere Produkt vor)

Bemerkungen

• Der Wert $0!=1$ ist die Definition eines Produktes mit null Faktoren.
• Die Fakultät ist nur für nichtnegative ganze Zahlen definiert.
• $n!=n\cdot (n-1)!$ folgt direkt aus der Definition. Zusammen mit der Eigenschaft $0!=1$ liefert dies eine rekursive Charakterisierung der Fakultät.
• Die Zahl $n!$ wächst mit steigendem $n$ sehr schnell an. So ist 69! bereits eine Zahl mit 99 Dezimalstellen. Eine Beschreibung des Wachstumsverhaltens ist durch die Stirling-Formel gegeben, die damit auch zur näherungsweisen Berechnung der Fakultät benutzt werden kann.

Bedeutung für die Kombinatorik

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil $n!$ als die Zahl der Möglichkeiten interpretiert werden kann, $n$ Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls $X$ eine $n$-elementige Menge ist, so ist $n!$ auch die Zahl der bijektiven Abbildungen $X\to X$.

Beispiel

Problem: Bei einem Autorennen starten 6 Fahrer. Wieviele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge beim Zieleinlauf dieser Fahrer, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen?

Lösung: Für den ersten Platz kommen alle 6 Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den 3. Platz nur noch 4 Fahrer in Frage, usw. Es gibt also 6! = 720 verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Verwandte Begriffe

• Eine Verallgemeinerung der Fakultät für nicht natürlichzahlige Argumente kann mithilfe der Gammafunktion beschrieben werden, die für komplexe Zahlen $z$ mit $\mathrm {Re} \,z>0$ durch

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

definiert ist. Aus der Funktionalgleichung $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ und $\Gamma (1)=1$ folgt

$\Gamma (n+1)=n!$ für nichtnegative ganze Zahlen $n$.

Die Gammafunktion kann als meromorphe Funktion auf die gesamte komplexe Ebene fortgesetzt werden.

• Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.$

• Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, ist die Taylorreihe einer Funktion; insbesondere finden sich Fakultäten in den Potenzreihen der Sinusfunktion oder der Exponentialfunktion.

• Eine relativ selten verwendete Begriffsbildung ist die Doppelfakultät, die als das Produkt

$n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdots ={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdots 2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {gerade} \\n\cdot (n-2)\cdots 1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {ungerade} \end{cases}}$

definiert ist.

• Die Subfakultät $!n$ steht in engem Zusammenhang zur Fakultät $n!$.

Numerische Berechnung

Der numerische Wert für n! kann gut rekursiv berechnet werden, falls n nicht zu groß ist. So arbeiten in der Regel Taschenrechner. Die größte Fakultät, die ein handelsüblicher Taschenrechner noch ausrechnen kann ist dabei 69!, da 70! > 10¹⁰⁰ schon außerhalb des verfügbaren Zahlenbereiches steht.

Wenn nun n sehr groß ist, kann man n! ziemlich gut durch die Stirling-Formel abschätzen:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

Dabei bedeutet $\sim$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für $n\to \infty$ gegen 1 konvergiert.

Weblinks

• Seite über Fakultäten mit Programmen
• Kleines Visual Basic Programm mit Quelltext und Abbildung zur Fakultätsberechnung
• Freies und plattformunabhängiges Programm, auch zur unbegrenzten Berechnung von Fakultäten (mit Java-Quelltext)