Benutzer:Joachim Mohr/In Arbeit

Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen. Seit der Antike wird der Tonvorrat einer Musikkultur zum einen über die Angabe von Tonhöhen und zum andern über den Begriff des Intervalls wiedergegeben.

Physikalische Grundlagen

Jedem Ton kann man eine Frequenz zuodnen.

Beispiel: c' (das eingestrichene c) hat die Frequenz 264 Hz.

Jedem Intervall kann man ein Frequenzverhältnis zuordnen:

Beispiel: Die reine Quinte hat das Frequenzverhälnis ³/₂, die große Terz ⁵/₄ und die kleine Terz ⁶/₅.

Bei den unten aufgeführten Tabellen werden Intervalle addiert. Für das Rechnen mit Intervallen gelten die üblichen Additionsgesetze.

Beispiel: Türmt man drei reine große Terzen übereinander, so erhält man ein Intervall, das etwas größer als die Oktave ist. Der Unterschied heißt kleine Diesis. Man schreibt dazu: kleine Diesis = 3*(große Terz) - Oktave.

Der Addition von Intervallen entspricht die Multiplikation der Frequenzverhältnisse.

Beispiel: Der Addition kleine Terz + große Terz = Quinte entspricht die Multiplikation ⁶/₅· ⁵/₄=³/₂.

Oft ist bei Intervallen die Cent-Angabe nützlich, wobei definiert ist Oktave = 1200 Cent.

Beispiele für Intervallräume

In der folgenden Tabelle bedeutet:

Ok=Oktave (Frequenzverhältnis 2 ${\widehat {=}}1200Cent$ ),
H=Halbton (Frequenzverhältnis ${\sqrt[{12}]{2}}{\widehat {=}}100Cent$ ),
Q=Quinte (Frequenzverhältnis 3/2 ${\widehat {\approx }}702Cent$ ),
Q_m=1/4-Komma mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis ${\sqrt[{4}]{5}}{\widehat {\approx }}697Cent$ )
T=Terz (Frequenzverhältnis 5/4 ${\widehat {\approx }}386Cent)$ .

Name des Intervallraums	Intervallraum
Der zwölfstufige Intervallraum Intervallraum der gleichstufigen Stimmung	${\mathcal {H}}=\{n\cdot H\\|n\in \mathbb {Z} \}$
Das Quintensystem Intervallraum der pythagoreischen Stimmung	${\mathcal {Q}}=\{n\cdot Ok+m\cdot Q\\|n,m\in \mathbb {Z} \}$
Das 1/4-Komma mitteltönige Quintensystem Intervallraum der mitteltönigen Stimmung	${\mathcal {Q}}_{m}=\{n\cdot Ok+m\cdot Q_{m}\\|n,m\in \mathbb {Z} \}$
Das Quint-Terz-System Intervallraum der reinen Stimmung	${\mathcal {Q}}{\mathcal {T}}=\{n\cdot Ok+m\cdot Q+k\cdot T\\|n,m,k\in \mathbb {Z} \}$
Der allumfassende Intervallraum (Alle Intervalle sind beliebig teilbar)	${\mathcal {\{}}r\cdot Ok\\|r\in \mathbb {R} \}$ (Hier ist die Einheit Cent = 1/1200 Ok anzusiedeln.)

Teilbarkeit von Intervallen

Im Allgemeinen kann man Intervalle nicht „teilen“. Die "halbe Quinte" ${\frac {1}{2}}\cdot Q$ wäre zwischen kleiner und großer Terz anzusiedeln und ist im Stimmungssystem weder der pythagoreischen noch der mitteltönigen, reinen oder gleichstufigen Stimmung ein vorkommendes Intervall. Auch die halbe Oktave ${\frac {1}{2}}Ok$ (600 Cent) existiert nicht im Stimmungssystem der pythagoreischen, der mitteltönigen oder reinen Stimmung.

Gleichstufige Stimmung

Die Grundlage der gleichstufigen Stimmung ist der 12-stufige Tonraum ${\mathcal {H}}$ mit den folgenden Intervallen:

Intervall	Darstellung	Größe in Cent
Halbton	H	100 Cent
Ganzton	2H	200 Cent
kleine Terz	3H	300 Cent
große Terz	4H	400 Cent
...	...	...
ausführliche Tabelle

Pythagoreische Stimmung

Die Grundlage der pythagoreischen Stimmung ist das Quintsystem ${\mathcal {Q}}$ mit den folgenden Intervallen (siehe auch Pythagoras in der Schmiede):

Intervall	Darstellung	Frequenzverhältnis	Größe in Cent
Oktave	Ok (Grundintervall)	2:1	1200
Quinte	Q (Grundintervall)	3:2	702
Ganzton	2Q-Ok	9:8	204
pythagoreische große Terz (Ditonus)	2 Ganztöne = 4Q-2Ok	81:64	408
Quarte	Ok-Q	4:3	498
pythagoreischer Halbton (Limma)	Quart-Ditonos = 3Ok - 5Q	256:243	90
pythagoreischer chromatischer Halbton (Apotome)	Ganzton - Limma = 7Q - 4 Ok	2187:2048	114
pythagoreisches Komma	12Q-7Ok	531441:524288	23
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Mitteltönige Stimmung

Die Grundlage der 1/4-Komma mitteltönigen Stimmung ist das 1/4-Komma mitteltönige Quintsystem mit den folgende Intervallen:

Intervall	Darstellung	Frequenzverhältnis	Angabe in Cent
Oktave Ok	(Grundintervall)	2:1	1200
Quinte Qm	(Grundintervall)		697
Große Terz	4Qm - 2OK = T	5/4	386
Quarte	Ok - Qm		503
Kleine Sext	3Ok - 4Qm = Ok - T	8:5	814
Kleine Terz	2Ok-3Qm		310
Große Sext	3Qm-Ok		890
Ganzton	2Qm - Ok		193
Kleine Septime	2Ok - 2Qm		1007
Halbton	3Ok - 5Qm		117
Große Septime	5Qm - 2Ok		1083
ausführliche Tabelle

Reine Stimmung

Die Grundlage der reinen Stimmung ist das Quint-Terz-System ${\mathcal {Q}}$ ${\mathcal {T}}$ , mit den folgende Intervallen:

Intervall	Darstellung	Frequenzverhältnis	Angabe in Cent
Oktave	Ok (Grundintervall)	2:1	1200
Quinte	Q (Grundintervall)	3:2	702
Große Terz	T (Grundintervall)	5:4	386
Quarte	Ok - Q	4:3	498
Kleine Sext	Ok - T	8:5	814
Kleine Terz	Q - T	6:5	316
Große Sext	Ok + T - Q	5:3	884
(Großer) Ganzton	Q + Q - Ok	9:8	204
Kleiner Ganzton	T - (Großer Ganzton) = Ok + T - Q - Q	10:9	182
Kleine Septime (1. Möglichkeit)	Ok - (Großer Ganzton) = 2Ok - 2Q	16:9	996
Kleine Septime (2. Möglichkeit)	Ok - (Kleiner Ganzton) = Q + Q - T	9:5	1018
Halbton	Quarte - T = Ok - Q - T	16:15	112
Große Septime	Ok - Halbton = Q + T	15:8	1088
Syntonisches Komma	2(Große Ganztöne) - T = 4Q - 2Ok - T	81:80	22
ausführliche Tabelle

Um aus einer Proportion des Quint-Terz-Systems herauszufinden, aus welchen Grundintervallen das Intervall zusammengesetzt ist, muss man den Tripellogarithmus berechnen.

Beispiel:

Die Gleichung ${\frac {81}{80}}=2^{x}\cdot \left({\frac {3}{2}}\right)^{y}\cdot \left({\frac {5}{4}}\right)^{z},x,y,z\in Z$ hat die eindeutige Lösung, als "Tripellogarithmus" bezeichnet: x=-2, y=4 und z=-1.

Damit gilt für das Intervall $i$ mit dem Frequenzverhältnis ${\frac {81}{80}}$ die Beziehung $i=-2\cdot Ok+4\cdot Q-T$ . (Siehe syntonisches Komma.)

Beispiele ausführlich

Intervalle der gleichstufigen Stimmung

Frequenzverhältnis	Intervallgröße in Cent	Intervallbezeichnung
1	0	Prim
${\sqrt[{12}]{2}}$	100	gleichstufiger Halbton
${\sqrt[{12}]{2^{2}}}$	200	gleichstufiger Ganzton
${\sqrt[{12}]{2^{3}}}$	300	gleichstufige kleine Terz
${\sqrt[{12}]{2^{4}}}$	400	gleichstufige große Terz
${\sqrt[{12}]{2^{5}}}$	500	gleichstufige Quarte
${\sqrt[{12}]{2^{6}}}$	600	gleichstufiger Tritonus
${\sqrt[{12}]{2^{7}}}$	700	gleichstufige Quinte
${\sqrt[{12}]{2^{8}}}$	800	gleichstufige kleine Sexte
${\sqrt[{12}]{2^{9}}}$	900	gleichstufige große Sexte
${\sqrt[{12}]{2^{10}}}$	1000	gleichstufige kleine Septime
${\sqrt[{12}]{2^{11}}}$	1100	gleichstufige große Septime
2	1200	Oktave

Intervalle der pythagoreischen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der pythagoreischen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervalle: C-Cis, C-Des*, C-D, C-Dis*, C-Es, C-E, ..., Cis-Dis*, Cis-Es, Cis-E, Cis-F, Cis-Fis, ..., Des*-Es, Des*-E,..., D-Dis*, D-Es, D-E, ... . Die Intervalle wurden dann der Größe in Cent nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der pythagoreischen Stimmung sind die Quinten der Folge Ges*-Des*-As*-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis-Dis*-Ais* rein (Frequenzverhältnis 3/2).

Hinweis: Die Töne Ges*, Des*, As*, Dis* und Ais* sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle Oktave und Quinte darstellbar.

ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2/1)
q = Quinte (Frequenzverhältnis 3/2).

Intervall	von C aus ^[1]	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
Cis-Des*	Deses	524288/531441	-23,460	-12q+7ok	pythagoreische verminderte Sekunde=-Pythagoreisches Komma^[2]
E-F	Des	256/243	90,225	-5q+3ok	pythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-Cis	Cis	2187/2048	113,685	7q-4ok	pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
Cis-Es	Eses	65536/59049	180,450	-10q+6ok	pythagoreische verminderte Terz
C-D	D	9/8	203,910	2q-ok	großer Ganzton = pythagoreische Sekunde
Des-Dis	Cisis	4782969/4194304	227,370	14q-8ok	pythagoreische doppelt übermäßige Prim
Dis-Ges	Feses	16777216/14348907	270,675	-15q+9ok	pythagoreische doppelt verminderte Quarte
D-F	Es	32/27	294,135	-3q+2ok	pythagoreische kleine Terz
Es-Fis	Dis	19683/16384	317,595	9q-5ok	pythagoreische übermäßige Sekunde
Cis-F	Fes	8192/6561	384,360	-8q+5ok	pythagoreische verminderte Quarte
C-E	E	81/64	407,820	4q-2ok	pythagoreische große Terz = Ditonos
Ges-Ais	Disis	43046721/33554432	431,280	16q-9ok	pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
Cis-Ges*	Geses	2097152/1594323	474,585	-13q+8ok	pythagoreische doppeltverminderte Quinte
C-F	F	4/3	498,045	-q+ok	Quarte
Es-Gis	Eis	177147/131072	521,505	11q-6ok	pythagoreische übermäßige Terz
E-B	Ges	1024/729	588,270	-6q+4ok	pythagoreische verminderte Quinte
C-Fis	Fis	729/512	611,730	6q-3ok	pythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
Gis-es	Asas	262144/177147	678,495	-11q+7ok	pythagoreische verminderte Sexte
C-G	G	3/2	701,955	q	Quinte
Es-Ais*	Fisis	1594323/1048576	725,415	13q-7ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
Ais-ges	Heseses	67108864/43046721	768,720	-16q+10ok	pythagoreische doppelt verminderte Septime
E-c	As	128/81	792,180	-4q+3ok	pythagoreische kleine Sext
C-Gis	Gis	6561/4096	815,640	8q-4ok	pythagoreische übermäßige Quinte
Cis-B	Heses	32768/19683	882,405	-9q+6ok	pythagoreische verminderte Septime
C-A	A	27/16	905,865	3q-ok	pythagoreische große Sexte
Des-Ais	Gisis	14348907/8388608	929,325	15q-8ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
Dis-des	ceses	8388608/4782969	972,630	-14q+9ok	pythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-B	B	16/9	996,090	-2q+2ok	pythagoreische kleine Septime
Es-cis	Ais	59049/32768	1019,550	10q-5ok	pythagoreische übermäßige Sexte
Cis-c	ces	4096/2187	1086,315	-7q+5ok	pythagoreische verminderte Oktave
C-H	H	243/128	1109,775	5q-2ok	pythagoreische große Septime
Cis-des*	deses	1048576/531441	1176,540	-12q+8ok	pythagoreische verminderte None (= ok- pythagoreische verminderte Sekunde)
C-c	c	2/1	1200	ok	Oktave

Intervalle der 1/4-Komma mitteltönigen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der mitteltönigen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: (C)-(Cis), (C)-(Des*), (C)-(D), (C)-(Dis*), (C)-(Es), (C)-(E), ..., (Cis)-(Dis*), (Cis)-(Es), (Cis)-(E), (Cis)-(F), (Cis)-(Fis), ..., (Des*)-(Es), (Des*)-(E),..., (D)-(Dis*), (D)-(Es), (D)-(E), ... . Die Intervalle wurden dann Größe (in Cent) nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der 1/4-Komma mitteltönige Stimmung sind die Quinten der Folge (Ges*)-(Des*)-(As*)-(Es)-(B)-(F)-(C)-(G)-(D)-(A)-(E)-(H)-(Fis)-(Cis)-(Gis)-(Dis*)-(Ais*) um 1/4 des syntonischen Kommas (Frequenzverhältnis 81/80) tiefer als die reine Quinte gestimmt. Diese Quinten haben also das Frequenzverhältnis

w={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {80}{81}}}={\sqrt[{4}]{5}}.

.

Hinweis: Die Töne (Ges*), (Des*), (As*), (Dis*) und (Ais*) sind auf einer 12-Stufigen Skala nicht vorhanden. Intervalle der Form zum Beispiel (Cis)-(Des*) vermitteln jedoch einen Eindruck, welche Unreinheiten bei enharmonischen Verwechslungen auftreten.

Das Frequenzverhältnis in der zweiten Spalte ist häufig irrational. Hier bedeutet

w=

{\sqrt[{4}]{5}}

, w² =

{\sqrt[{4}]{5^{2}}}

und w³ =

{\sqrt[{4}]{5^{3}}}

.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle des mitteltönig-Quinten-Systems darstellbar.

ok=Oktave
mq= mitteltönige Quinte.

Die Große Terz t=(C)-(E) ist hier darstellbar als t=4mq-2ok. Die jeweilige Berechnung erscheint in der 4. Spalte.

Intervall	von C aus	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
(Cis)-(Des*)	(Deses)	128/125	41,059	-12mq+7ok=-3t+ok	(größere) verminderte Sekunde =kleine Diesis
(C)-(Cis)	(Cis)	(5/16)w³	76,049	7mq-4ok=2t-mq	chromatischer mitteltöniger Halbton
(E)-(F)	(Des)	(8/25)w³	117,108	-5mq+3ok=-t-mq+ok	diatonischer mitteltöniger Halbton
(Des)-(Dis)	(Cisis)	(125/256)w²	152,098	14mq-8ok=4t-2mq	mitteltönige doppelt übermäßige Prim
(C)-(D)	(D)	(1/2)w²	193,157	2mq-ok	mitteltöniger Ganzton
(Cis)-(Es)	(Eses)	(64/125)w²	234,216	-10mq+6ok=-3t+2mq	mitteltönig verminderte Terz
(Es)-(Fis)	(Dis)	(25/32)w	269,206	9mq-5ok=2t+mq-ok	mitteltönige übermäßige Sekunde
(D)-(F)	(Es)	(4/5)w	310,265	-3mq+2ok=-t+mq	mitteltönige kleine Terz
(Ges)-(Ais)	(Disis)	625/512	345,255	16mq-9ok=4t-ok	mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde
(Dis)-(Ges)	(Feses)	(512/625)w	351,324	-15mq+9ok=-4t+mq+ok	mitteltönig doppelt verminderte Quarte
(C)-(E)	(E)	5/4	386,314	4mq-2ok=t	große Terz
(Cis)-(F)	(Fes)	32/25	427,373	-8mq+5ok=-2t+ok	verminderte Quarte
(Es)-(Gis)	(Eis)	(25/64)w³	462,363	11mq-6ok=3t-mq	mitteltönig übermäßige Terz
(C)-(F)	(F)	(2/5)w³	503,422	-mq+ok	mitteltönige Quarte
(Cis)-(Ges*)	(Geses)	(256/625)w³	544,480	-13mq+8ok=-3t-mq+2ok	mitteltönig doppelt verminderte Quinte
(F)-(H)	(Fis)	(5/8)w²	579,471	6mq-3ok=t+2mq-ok	mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltönig Tritonus
(Cis)-(G)	(Ges)	(16/25)w²	620,529	-6mq+4ok=-2t+2mq	mitteltönige verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)	(Fisis)	(125/128)w	655,520	13mq-7ok=3t+mq-ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quart
(C)-(G)	(G)	w	696,578	mq	mitteltönige Quinte
(Gis)-(es)	(Asas)	(128/125)w	737,637	-11mq+7ok=-3t+mq+ok	mitteltönig verminderte Sexte
(C)-(Gis)	(Gis)	25/16	772,627	8mq-4ok=2t	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
(E)-(c)	(As)	8/5	813,686	-4mq+3ok=-t+ok	kleine Sexte
(Des)-(Ais)	(Gisis)	(125/256)w³	848,676	15mq-8ok=4t-mq	mitteltönig doppelt übermäßige Quinte
(Ais)-(ges)	(Beses)	1024/625	854,745	-16mq+10ok=4t+2ok	mitteltönige doppelt verminderte Septime
(C)-(A)	(A)	(1/2)w³	889,735	3mq-ok=t-mq+ok	mitteltönige große Sexte
(Cis)-(B)	(Bes)	(64/125)w³	930,794	-9mq+6ok=-2t-mq+2ok	mitteltönig verminderte Septime
(Es)-(cis)	(Ais)	(25/32)w²	965,784	10mq-5ok=2t+2mq-ok	mitteltönige übermäßige Sexte
(D)-(c)	(B)	(4/5)w²	1006,843	-2mq+2ok	mitteltönige kleine Septime
(Gis)-(ges*)	(ceses)	(512/625)w²	1047,902	-14mq+9ok=-4t+2mq+ok	mitteltönig doppelt verminderte Oktave
(C)-(H)	(H)	(5/4)w	1082,892	5mq-2ok=t+mq	mitteltönige große Septime
(Cis)-(c)	(ces)	(32/25)w	1123,951	-7mq+5ok=-2t+mq+ok	mitteltönig verminderte Oktave
(Es)-(dis*)	(his)	125/64	1158,941	12mq-6ok=3t	übermäßige Septime
(C)-(c)	(c)	2/1	1200	ok	Oktave

Intervalle der reinen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der reinen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: C-,Cis / C-'Des / C-D, / C-,,Dis / C-'Es / C-,E / ... / ,Cis-,,Dis / ,Cis-'Es / ,Cis-,E / ,Cis-F / ,Cis-,Fis / ... / D-,,Dis / D-'Es / D-,E / ... (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: «Tiefkomma x» mit der Bezeichnung «,x» bedeutet «,x» ist ein syntonisches Komma tiefer als «x». «Hochkomma x» mit der Bezeichnung «'x» ist ein syntonisches Komma höher als «x». Die reine C-Dur-Tonleier schreibt sich als «C D ,E F G ,A ,H c». Die reine C-moll-Tonleiter schreibt sich als «C D 'Es F G 'As 'B c».). Die Intervalle wurden dann der Größe nach (in Cent) geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Intervallreferenz ist C-Dur und C-Moll mit den reinen Akkorden C-,E-G / C-'Es-G / F-,A-c / F-'As-c / G-,H-D und G-'B-d / ergänzt um weitere Zwischentöne mit den diatonischen Halbtonschritten (Frequenzverhältnis 16/15) C-'Des / ,Cis-D / ,,Dis-,E / F-'Ges / ,Fis-G / ,,Gis-,A und ,,Ais-,H.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der drei Grundintervalle des Quint-Terz-Systems darstellbar.

ok=Oktave
q=Quinte und
t=große Terz.

Die jeweilige Berechnung erscheint in der 5. Spalte.

Intervall	von C aus ^[3]	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
Des-,Cis	,HIS	32805/32768	1,954	t+8q-5ok	kleine übermäßige Septime - Oktave, Schisma
,Cis-'Des	''Deses	2048/2025	19,553	-2t-4q+3ok	(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
,,Dis-'Es	'''Deses	128/125	41,059	-3t+ok	(größere) verminderte Sekunde, kleine Diesis
D-,,Dis	,,Cis	25/24	70,672	2t-q	(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
C-,Cis	,Cis	135/128	92,179	t+3q-2ok	(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
,E-F	'Des	16/15	111,731	-t-q+ok	kleine Sekunde, diatonischer Halbton
,A-'B	''Des	27/25	133,238	-2t+3q-ok	(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
'Des-,,Dis	,,,Cisis	1125/1024	162,851	3t+2q-2ok	doppelt übermäßige Prim
D-,E	,D	10/9	182,404	t-2q+ok	kleiner Ganzton
C-D	D	9/8	203,910	2q-ok	großer Ganzton = pythaogoreischer Ganzton
,E-'Ges	''Eses	256/225	223,463	-2t-2q+2ok	(kleinere) verminderte Terz
,,Gis-'B	'''Eses	144/125	244,969	-3t+2q	(größere) verminderte Terz
C-,,Dis	,,Dis	75/64	274,582	2t+q-ok	übermäßige Sekunde
D-F	Es	32/27	294,135	-3q+2ok	pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
C-'Es	'Es	6/5	315,641	-t+q	kleine Terz
,,Dis-'Ges	'''Feses	4096/3375	335,194	-3t-3q+3ok	doppelt verminderte Quarte
'Ges-,,Ais	,,,Disis	10125/8192	366,761	3t+4q-3ok	doppelt übermäßige Sekunde
C-,E	,E	5/4	386,314	t	große Terz
D-'Ges	'Fes	512/405	405,866	-t-4q+3ok	(kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis	E	81/64	407,820	4q-2ok	pythagoreisch große Terz = Ditonos
,E-'As	''Fes	32/25	427,373	-2t+ok	verminderte Quarte
'Es-,,Gis	,,,Eis	125/96	456,986	3t-q	(kleinere) übermäßige Terz
F-,,Ais	,,Eis	675/512	478,492	2t+3q-2ok	(größere) übermäßige Terz
C-F	F	4/3	498,045	-q+ok	Quarte
,Cis-'Ges	''Geses	8192/6075	517,598	-2t-5q+4ok	doppelt verminderte Quinte
,A-d	'F	27/20	519,551	-t+3q-ok	unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
,,Dis-'As	'''Geses	512/375	539,104	-3t-q+2ok	doppelt verminderte Quinte
D-,,Gis	,,Fis	25/18	568,717	2t-2q+ok	(kleinere) übermäßige Quarte
'Ges-,cis	,,Fisis	6075/4096	682,402	2t+5q-3ok	doppelt verminderte Quarte
C-,Fis	,Fis	45/32	590,224	t+2q-ok	Tritonus, übermäßige Quarte
,Fis-c	'Ges	64/45	609,776	-t-2q+2ok	(kleinere) verminderte Quinte
,A-'es	''Ges	36/25	631,283	-2t+2q	(größere) verminderte Quinte
'Es-,,Ais	,,,Fisis	375/256	660,896	3t+q-ok	doppelt übermäßige Quarte
D-,A	,G	40/27	680,449	t-3q+2ok	unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
C-G	G	3/2	701,955	q	Quinte
,H-'ges	''Asas	1024/675	721,508	-2t-3q+3ok	(kleinere) verminderte Sexte
,,Dis-'B	'''Asas	192/125	743,014	-3t+q+ok	(größere) verminderte Sexte
C-,,Gis	,,Gis	25/16	772,627	2t	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
,Cis-,A	As	128/81	792,180	-4q+3ok	pythagoreische kleine Sexte
F-,cis	,Gis	405/256	794,134	t+4q-2ok	(größere) übermäßige Quinte
,E-c	'As	8/5	813,686	-t+ok	kleine Sexte
,,Ais-'ges	'''Beses	16384/10125	833,239	-3t-4q+4ok	doppelt verminderte Septime
'Des-,,Ais	,,,Gisis	3375/2048	864,806	3t+3q-2ok	doppelt übermäßige Quinte
C-,A	,A	5/3	884,359	t-q+ok	große Sexte
F-d	A	27/16	905,865	3q-ok	pyth. große Sexte (im II. Akkord)
,E-'des	''Bes	128/75	925,418	-2t-q+2ok	(größere) verminderte Septime
'B-,,gis	,,,Ais	125/72	955,031	3t-2q+ok	(kleinere) übermäßige Sexte
C-,,Ais	,,Ais	225/128	976,537	2t+2q-ok	(größere) übermäßige Sexte
D-c	B	16/9	996,090	-2q+2ok	kleinere kleine Septime (=Oktave - großer Ganzton)
C-'B	'B	9/5	1017,596	-t+2q	größere kleine Septime (=Oktave - kleiner Ganzton)
,,Dis-'des	'''ceses	2048/1125	1037,149	-3t-2q+3ok	doppelt verminderte Oktave
'B-,,ais	,,,his	125/64	1158,941	3t	übermäßige Septime
'B-,a	,,H	50/27	1066,762	2t-3q+2ok	(kleinere) große Septime
C-,H	,H	15/8	1088,269	t+q	große Septime
,Cis-c	'ces	256/135	1107,821	-t-3q+3ok	(kleinere) verm. Oktave
,,Dis-d	''ces	48/25	1129,328	-2t+q+ok	(größere) verminderte Oktave
'Des-,cis	,,his	2025/1024	1180,447	2t+4q-2ok	(größere) überm. Septime
C-c	c	2/1	1200	ok	Oktave

Intervalle nach Größe geordnet

Bezeichnungen:

C-Cis-Des*-D-Dis*-Es-E... Pythagoreische Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf reinen Quinten.

(C)-(Cis)-(Des*)-(D)-(Dis*)-(Es)-(E)-(F)-... 1/4-Komma-mitteltönige Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf mitteltönigen Quinten (696,6 Cent).

C-,Cis-'Des-D-,,Dis-'Es-,E ... Reine Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte (Bezeichnungen 'X = Hochkomma vor X = X um ein syntonisches Komma höher etc. siehe Eulersches Tonnetz).

ok=Oktave (Frequenzverhältnis 2)
q=Quinte (Frequenzverhältnis 3/2)
mq=mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis w= ${\sqrt[{4}]{5}}{\widehat {\approx }}{\text{ 696,6}}$ Cent)
t=große Terz (Frequenzverhältnis 5/4).

Intervalle	von C aus	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
C-C	C	1/1	0		Prim
	,His	32805/32768	1,954	8q+t-5ok	Schisma = Differenz pythagoreisches und syntonisches Komma
,Cis-'Des	''Deses	2048/2025	19,553	-2t-4q+3ok	(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
	'C	81/80	21,506	4q-t-2ok	syntonisches Komma: Differenz d(C-dur) und ,d(F-dur)
Des*-Cis	His	531441/524288	23,460	12q-7ok	pythagoreisches Komma
(Dis)-(Es) =,,Dis-'Es	(Deses) ='''Deses	128/125	41,059	-12mq+7ok=-3t+ok	(in der reinen Stimmung: größere) verminderte Sekunde = kleine Diesis (Differenz von Oktave zu 3 großen Terzen).
	''''Deses	648/625	62,565	4q-4t-ok	große Diesis = Differenz von vier kleinen Terzen zur Oktave
D-,,Dis	,,Cis	25/24	70,672	2t-q	(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
(C)-(Cis)	(Cis)	(5/16)w³	76,049	7mq-4ok	chromatischer mitteltöniger Halbton
E-F	Des	256/243	90,225	-5q+3ok	pythagoreisches Limma=pythagoreische kleine Sekunde
C-,Cis	,Cis	135/128	92,179	t+3q-2ok	(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
			100	(1/12)ok	kleine gleichstufige Sekunde
,E-F	'Des	16/15	111,731	-t-q+ok	kleine Sekunde, diatonischer Halbton
C-Cis	Cis	2187/2048	113,685	7q-4ok	pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
(E)-(F)	(Des)	(8/25)w³	117,108	-5mq+3ok	diatonischer mitteltöniger Halbton
,A-'B	''Des	27/25	133,238	-2t+3q-ok	(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
(Des)-(Dis)	(Cisis)	(125/256)w²	152,098	14mq-8ok	mitteltönige doppelt übermäßige Prim
'Des-,,Dis	,,,Cisis	1125/1024	162,851	3t+2q-2ok	doppelt übermäßige Prim
Cis-Es	Eses	65536/59049	180,450	-10q+6ok	pythagoreische verminderte Terz
D-,E	,D	10/9	182,404	t-2q+ok	kleiner Ganzton
(C)-(D)	(D)	(1/2)w²	193,157	2mq-ok	mitteltöniger Ganzton
			200	(2/12)ok	große gleichstufige Sekunde
C-D	D	9/8	203,910	2q-ok	großer Ganzton=pythagoreische Sekunde
,E-'Ges	''Eses	256/225	223,463	-2t-2q+2ok	(kleinere) verminderte Terz
Des-Dis	Cisis	4782969/4194304	227,370	14q-8ok	pythagoreische doppelt übermäßige Prim
(Cis)-(Es)	(Eses)	(64/125)w²	234,216	-10mq+6ok	mitteltönig verminderte Terz
,,Gis-'B	'''Eses	144/125	244,969	-3t+2q	(größere) verminderte Terz
(Es)-(Fis)	(Dis)	(25/32)w	269,206	9mq-5ok	mitteltönige übermäßige Sekunde
Dis-Ges	Feses	16777216/14348907	270,675	-15q+9ok	pythagoreische doppelt verminderte Quarte
C-,,Dis	,,Dis	75/64	274,582	2t+q-ok	übermäßige Sekunde
D-F	Es	32/27	294,135	-3q+2ok	pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
			300	(3/12)ok	kleine gleichstufige Terz
(D)-(F)	(Es)	(4/5)w	310,265	-3mq+2ok	mitteltönige kleine Terz
C-'Es	'Es	6/5	315,641	-t+q	kleine Terz
Es-Fis	Dis	19683/16384	317,595	9q-5ok	pythagoreische übermäßige Sekunde
,,Dis-'Ges	'''Feses	4096/3375	335,194	-3t-3q+3ok	doppelt verminderte Quarte
(Ges)-(Ais)	(Disis)	625/512	345,255	16mq-9ok=4t-ok	mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde. (Disis)=,,,,Disis.
(Dis)-(Ges)	(Feses)	(512/625)w	351,324	-15mq+9ok	mitteltönig doppelt verminderte Quarte
'Ges-,,Ais	,,,Disis	10125/8192	366,761	3t+4q-3ok	doppelt übermäßige Sekunde
Cis-F	Fes	8192/6561	384,360	-8q+5ok	pythagoreische verminderte Quarte
(C)-(E) =C-,E	(E) =,E	5/4	386,314	4mq-2ok=t	große Terz
			400	(4/12)ok	große gleichstufige Terz
D-'Ges	'Fes	512/405	405,866	-t-4q+3ok	(kleinere) verminderte Quarte
,A-,cis	E	81/64	407,820	4q-2ok	pythagoreisch große Terz = Ditonos
(Cis)-(F) =,E-'As	(Fes) =''Fes	32/25	427,373	-8mq+5ok=ok-2t	verminderte Quarte
Ges-Ais	Disis	602409/469571	431,280	16q-9ok	pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
'Es-,,Gis	,,,Eis	125/96	456,986	3t-q	(kleinere) übermäßige Terz
(Es)-(Gis)	(Eis)	(25/64)w³	462,363	11mq-6ok	mitteltönig übermäßige Terz
Cis-Ges*	Geses	2097152/1594323	474,585	-13q+8ok	pythagoreische doppelt verminderte Quinte
F-,,Ais	,,Eis	675/512	478,492	2t+3q-2ok	(größere) übermäßige Terz
C-F	F	4/3	498,045	-q+ok	Quarte
			500	(5/12)ok	gleichstufige Quarte
(C)-(F)	(F)	(2/5)w³	503,422	-mq+ok	mitteltönige Quarte
,Cis-'Ges	''Geses	8192/6075	517,598	-2t-5q+4ok	doppelt verminderte Quinte
,A-d	'F	27/20	519,551	-t+3q-ok	unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
Es-Gis	Eis	177147/131072	521,505	11q-6ok	pythagoreische übermäßige Terz
,,Dis-'As	'''Geses	512/375	539,104	-3t-q+2ok	doppelt verminderte Quinte
(Cis)-(Ges*)	(Geses)	(256/625)w³	544,480	-13mq+8ok	mitteltönig doppelt verminderte Quinte
		11/8	551,318		Nur zur Ergänzung: Das Alphorn-Fa (der 11. Naturton)
D-,,Gis	,,Fis	25/18	568,717	2t-2q+ok	(kleinere) übermäßige Quarte
(F)-(H)	(Fis)	(5/8)w²	579,471	6mq-3ok	mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltönig Tritonus
E-B	Ges	1024/729	588,270	-6q+4ok	pythagoreische verminderte Quinte
C-,Fis	,Fis	45/32	590,224	t+2q-ok	Tritonus, übermäßige Quarte
			600	(6/12)ok	gleichstufiger Tritonus, übermäßige gleichstufige Quarte, verminderte gleichstufige Quinte
,Fis-c	'Ges	64/45	609,776	-t-2q+2ok	(kleinere) verminderte Quinte
C-Fis	Fis	729/512	611,730	6q-3ok	pythagoreische übermäßige Quarte=pythagoreische Tritonus
(Cis)-(G)	(Ges)	(16/25)w²	620,529	-6mq+4ok	mitteltönige verminderte Quinte
,A-'es	''Ges	36/25	631,283	-2t+2q	(größere) verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)	(Fisis)	(125/128)w	655,520	13mq-7ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quart
'Es-,,Ais	,,,Fisis	375/256	660,896	3t+q-ok	doppelt übermäßige Quarte
Gis-es	Asas	262144/177147	678,495	-11q+7ok	pythagoreische verminderte Sexte
D-,A	,G	40/27	680,449	t-3q+2ok	unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
'Ges-,cis	,,Fisis	6075/4096	682,402	2t+5q-3ok	doppelt verminderte Quarte
(C)-(G)	(G)	w	696,578	mq	mitteltönige Quinte
			700	(7/12)ok	gleichstufige Quinte
C-G	G	3/2	701,955	q	Quinte
,H-'ges	''Asas	1024/675	721,508	-2t-3q+3ok	(kleinere) verminderte Sexte
Es-Ais*	Fisis	1594323/1048576	725,415	13q-7ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
(Gis)-(es)	(Asas)	(128/125)w	737,637	-11mq+7ok	mitteltönig verminderte Sexte
,,Dis-'B	'''Asas	192/125	743,014	-3t+q+ok	(größere) verminderte Sexte
Ais-ges	Beses	67108864/43046721	768,720	-16q+10ok	pythagoreische doppelt verminderte Septime
(C)-(Gis) =C-,,Gis	(Gis) =,,Gis	25/16	772,627	8mq-4ok=2t	(In der Reinen Stimmung kleinere) übermäßige Quinte, Doppelterz
E-c	As	128/81	792,180	-4q+3ok	pythagoreische kleine Sext
F-,cis	,Gis	405/256	794,134	t+4q-2ok	(größere) übermäßige Quinte
			800	(8/12)ok	kleine gleichstufige Sexte
,E-c	'As	8/5	813,686	-t+ok	kleine Sexte
C-Gis	Gis	6561/4096	815,640	8q-4ok	pythagoreische übermäßige Quinte
,,Ais-'ges	'''Beses	16384/10125	833,239	-3t-4q+4ok	doppelt verminderte Septime
(Des)-(Ais)	(Gisis)	(125/256)w³	848,676	15mq-8ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quinte
(Ais)-(ges)	(Beses)	1024/625	854,745	-16mq+10ok=-4t+2ok	mitteltönige doppelt verminderte Septime. (Beses) = ''''Beses.
'Des-,,Ais	,,,Gisis	3375/2048	864,806	3t+3q-2ok	doppelt übermäßige Quinte
Cis-B	Bes	32768/19683	882,405	-9q+6ok	pythagoreische verminderte Septime
C-,A	,A	5/3	884,359	t-q+ok	große Sexte
(C)-(A)	(A)	(1/2)w³	889,735	3mq-ok	mitteltönige große Sexte
			900	(9/12)ok	große gleichstufige Sexte
C-A	A	27/16	905,865	3q-ok	pythagoreische große Sexte
,E-'des	''Bes	128/75	925,418	-2t-q+2ok	(größere) verminderte Septime
Des-Ais	Gisis	14348907/8388608	929,325	15q-8ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quinte
(Cis)-(B)	(Bes)	(64/125)w³	930,794	-9mq+6ok	mitteltönig verminderte Septime
'B-,,gis	,,,Ais	125/72	955,031	3t-2q+ok	(kleinere) übermäßige Sexte
(Es)-(cis)	(Ais)	(25/32)w²	965,784	10mq-5ok	mitteltönige übermäßige Sexte
		7/4	968,826	i	Nur zur Ergänzung: Die Naturseptime, der 7. Naturton, manchmal mit i bezeichnet.
Dis-des	Ceses	8388608/4782969	972,630	-14q+9ok	pythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-,,Ais	,,Ais	225/128	976,537	2t+2q-ok	(größere) übermäßige Sexte
D-c	B	16/9	996,090	-2q+2ok	pythagoreische kleine Septime
			1000	(10/12)ok	kleine gleichstufige Septime
(D)-(c)	(B)	(4/5)w²	1006,843	-2mq+2ok	mitteltönige kleine Septime
C-'B	'B	9/5	1017,596	-t+2q	kleine Septime
Es-cis	Ais	59049/32768	1019,550	10q-5ok	pythagoreische übermäßige Sexte
,,Dis-'des	'''ceses	2048/1125	1037,149	-3t-2q+3ok	doppelt verminderte Oktave
(Gis)-(ges*)	(ceses)	(512/625)w²	1047,902	-14mq+9ok	mitteltönig doppelt verminderte Oktave
'B-,a	,,H	50/27	1066,762	2t-3q+2ok	(kleinere) große Septime
(C)-(H)	(H)	(5/4)w	1082,892	5mq-2ok	mitteltönige große Septime
Cis-c	Ces	4096/2187	1086,315	-7q+5ok	pythagoreische verminderte Oktave
C-,H	,H	15/8	1088,269	t+q	große Septime
			1100	(11/12)ok	große gleichstufige Septime
,Cis-c	'ces	256/135	1107,821	-t-3q+3ok	(kleinere) verminderte Oktave
C-H	H	243/128	1109,775	5q-2ok	pythagoreische große Septime
(Cis)-(c)	(ces)	(32/25)w	1123,951	-7mq+5ok	mitteltönig verminderte Oktave
,,Dis-d	''ces	48/25	1129,328	-2t+q+ok	(größere) verminderte Oktave
(Es)-(dis*) ='B-,,ais	(his) =,,,his	125/64	1158,941	12mq-6ok=3t	übermäßige Septime
Cis-des*	deses	1048576/531441	1176,540	-12q+8ok	pythagoreische verminderte None (=ok-pythagoreische verminderte Sek)
'Des-,cis	,,his	2025/1024	1180,447	2t+4q-2ok	(größere) überm. Septime
C-c		2/1	1200	ok	Oktave

Beschreibung der Tonstruktur hörpsychologisch ohne Akustik

Die Tonstruktur kann man ohne Bezug auf die Akustik formulieren. Dies ist neben der Anschaulichkeit für die Interpretation historischer Tonsystembeschreibungen wichtig. Dazu werden zunächst die musikalischen Grundtatsachen, die sich aus der musikalischen Praxis ergeben, wie schon bei Aristoxenos axiomatisch aufgezählt.^[4]

Bei einer Tonstruktur hat man einerseits eine Menge von Tönen und anderserseits eine Menge von Intervallen, die für die folgenden Regeln gelten:

Jedem Tonpaar $(x,y)$ wird ein eindeutiges Intervall $i={\overrightarrow {xy}}$ von $x$ zu $y$ zuordnet.

Ist umgekehrt der Grundton $x$ und das Intervall $i$ bekannt, so ist durch $i={\overrightarrow {xy}}$ der Endton $y$ eindeutig bestimmt.

Intervalle kann man nach folgender Vorschrift addieren: Ist $i={\overrightarrow {xy}}$ und $j={\overrightarrow {yz}}$ , dann ist $i+j={\overrightarrow {xz}}$ .

Intervalle kann man vergleichen: Wir schreiben $i\!\ <j$ , wenn der Endton von $j$ höher als der Endton von $i$ bei gleichem Grundton ist.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen. Mathematisch gesehen ist der Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Dies ergibt sich rein hörpsychologisch aus der Erfahrung der musikalschen Praxis.

Beispiel zum Kommutativgesetz: kleine Terz + große Terz = Quinte = große Terz + kleine Terz'.

Weblinks

Anmerkungen

↑ Das Intervall C-x von C aus gemessen. Angegeben ist nur der Endton x.
↑ Im Gegensatz zur reinen oder mitteltönigen Stimmung ist in der pythagoreischen Stimmung der Ton Cis höher als Des oder - besser bekannt - His höher als c. Deshalb ist der Ton Deses tiefer als C und das Intervall Cis-Des* bzw. C-Deses hier negativ notiert. Das um eine Oktave vergrößerte Intervall Cis-des* bzw. C-deses ist hier als pythagoreische verminderte None notiert. Um von Cis nach Des zu gelangen, bzw. von His nach c muss man 12 Quinten nach unten und 7 Oktaven nach oben. Das pythagoreische Komma erhält man bekanntlich als Intervall = 12 Quinten nach oben und 7 Oktaven nach unten.
↑ Das Intervall C-x von C aus gemessen. Angegeben ist nur der Endton x.
↑
Rudolf Wille schreibt in seinem Aufsatz Mathematik und Musiktheorie. In: Musik und Zahl Bonn -Bad Godesberg 1976, S. 233–264 über die Nützlichkeit der Mathematik für die Musik:
- Mit Hilfe der Mathematik kann man musikalische Begriffe präzisieren und Unklarheiten und Missverständnis vermeiden, die ungenau gefasste Begriffe mit sich bringen.
- Gerade mit der neueren Mathematik ist es möglich, musikalische Sachverhalte wesentlich einfacher und genauer wiederzugeben, als dies früher möglich war.
- Komplizierte Zusammenhänge werden durchschaubar.
Wilfried Neumaier zeigt in seiner Dissertation Was ist ein Tonsystem. In: Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart. Nr.9, Verlag Peter Lang. Frankfurth a.M/Bern/New York 1986, dass man mit Tonstrukturen historische Tonsysteme sehr gut vergleichen kann.

[[Kategorie:Intervall| ]] [[Kategorie:Mathematische Modellierung]]

[1] Das Intervall C-x von C aus gemessen. Angegeben ist nur der Endton x.

[2] Im Gegensatz zur reinen oder mitteltönigen Stimmung ist in der pythagoreischen Stimmung der Ton Cis höher als Des oder - besser bekannt - His höher als c. Deshalb ist der Ton Deses tiefer als C und das Intervall Cis-Des* bzw. C-Deses hier negativ notiert. Das um eine Oktave vergrößerte Intervall Cis-des* bzw. C-deses ist hier als pythagoreische verminderte None notiert. Um von Cis nach Des zu gelangen, bzw. von His nach c muss man 12 Quinten nach unten und 7 Oktaven nach oben. Das pythagoreische Komma erhält man bekanntlich als Intervall = 12 Quinten nach oben und 7 Oktaven nach unten.

[3] Das Intervall C-x von C aus gemessen. Angegeben ist nur der Endton x.

[4] Rudolf Wille schreibt in seinem Aufsatz Mathematik und Musiktheorie. In: Musik und Zahl Bonn -Bad Godesberg 1976, S. 233–264 über die Nützlichkeit der Mathematik für die Musik:
Mit Hilfe der Mathematik kann man musikalische Begriffe präzisieren und Unklarheiten und Missverständnis vermeiden, die ungenau gefasste Begriffe mit sich bringen.

Gerade mit der neueren Mathematik ist es möglich, musikalische Sachverhalte wesentlich einfacher und genauer wiederzugeben, als dies früher möglich war.

Komplizierte Zusammenhänge werden durchschaubar.
Wilfried Neumaier zeigt in seiner Dissertation Was ist ein Tonsystem. In: Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart. Nr.9, Verlag Peter Lang. Frankfurth a.M/Bern/New York 1986, dass man mit Tonstrukturen historische Tonsysteme sehr gut vergleichen kann.

[5] Mit Hilfe der Mathematik kann man musikalische Begriffe präzisieren und Unklarheiten und Missverständnis vermeiden, die ungenau gefasste Begriffe mit sich bringen.

[6] Gerade mit der neueren Mathematik ist es möglich, musikalische Sachverhalte wesentlich einfacher und genauer wiederzugeben, als dies früher möglich war.

[7] Komplizierte Zusammenhänge werden durchschaubar.

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[2]

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[4]