Benutzer:Homer65/Spielwiese

verallgemeinerte Pauli-Matrizen

Mit Hilfe des Kronecker-Produkt lassen sich Pauli-Matrizen verallgemeinern.
Sind $\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ die vier Pauli-Matrizen, so nennt man
$p:=\sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}};\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}\epsilon \{0,1,2,3\};n\epsilon \mathbb {N}$
eine verallgemeinerte Pauli-Matrix der Ordnung n oder kurz Pauli.
Eigenschaften der Pauli-Matrizen vererben sich auf die Pauli.
Sind $p_{1}$ und $p_{2}$ zwei Pauli, so gilt:
(1) $p_{1},p_{2}$ sind $2^{n}x2^{n}$ Matrizen
(2) $p_{1}^{2}=p_{2}^{2}=1$ (Die $2^{n}x2^{n}$ Einheitsmatrix)
(3) $p_{1}p_{2}=p_{2}p_{1}$ oder $p_{1}p_{2}=-p_{2}p_{1}$ (Das zentrale Lemma)
(4) Spur $\sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}}=2^{n}\delta _{\mu _{1},0}\delta _{\mu _{2},0}...\delta _{\mu _{n},0}$
(5) Alle Pauli sind linear unabhängg und bilden eine Basis im Vektorraum der $2^{n}x2^{n}$ Matrizen
Pauli spielen in der Physik eine Rolle. Hamilton Operatoren $H$ vieler physikalischer Modelle lassen sich als Summe von Pauli ausdrücken.
$H=\sum _{k=0}^{N}h_{k}p_{k}\quad mit\quad k,N\epsilon \mathbb {N} ,h_{k}\epsilon \mathbb {R} ,p_{k}istPauli$
Häufig interessiert man sich für die Exponential Funktion des Hamilton Operator.
$exp\{-\beta H\}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-\beta )^{l}}{l!}})(\sum _{k=0}^{N}h_{k}p_{k})^{l}\quad mit\quad \beta \epsilon \mathbb {R}$
Aufgrund des zentralen Lemma kann man in einem Produkt von Pauli die Pauli beliebig anordnen.
Ist $\pi$ eine Permutation, so ist:
$p_{\pi _{1}}p_{\pi _{2}}...p_{\pi _{n}}=ap_{1}p_{2}...p_{n}\quad mit\quad n\epsilon \mathbb {N} ,a\epsilon \{1,-1\}$
Deshalb existieren natürliche Zahlen $E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}$ mit:
$exp\{-\beta H\}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{\infty }...\sum _{k_{N}=0}^{\infty }E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}(-\beta h_{1})^{k_{1}}(-\beta h_{2})^{k_{2}}...(-\beta h_{N})^{k_{N}}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{N}^{k_{N}}$
Die $E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}$ sind, von Ausnahmen abgesehen, schwer zu berechnen.
Eine erste Näherung ergibt sich wenn man nur Summanden berücksichtigt, die aus kommutierenden Pauli bestehen.
$E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}=0$ falls ein Paar $1\leq a,b\leq N$ mit $p_{a}p_{b}=-p_{b}p_{a}$ existiert
$E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}=$

Resolventenformel

Seien
$\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

die Paulimatrizen. Dann kann jede $2^{N+1}x2^{N+1}$ Matrix H in der Form

$H=H_{0}\otimes \sigma _{0}+H_{1}\otimes \sigma _{1}+H_{2}\otimes \sigma _{2}+H_{3}\otimes \sigma _{3}=G_{0}+G_{1}x$

dargestellt werden. Wobei $H_{0},H_{1},H_{2},H_{3}2^{N}x2^{N}$ Matrizen sind und

$G_{0}=H_{0}\otimes \sigma _{0}+H_{3}\otimes \sigma _{3},G_{1}=H_{1}\otimes \sigma _{0}-iH_{2}\otimes \sigma _{3},x=1\otimes \sigma _{1}$

Die Resolvente

$R={\frac {1}{z-H}}=R_{0}+R_{1}x$

kann wie folgt berechnet werden:

$1=(z-H)R,1=(z-G_{0})R_{0}-G_{1}xR_{1}x+((z-G_{0})R_{1}-G_{1}xR_{0}x)x,$
$R_{1}={\frac {1}{z-G_{0}}}G_{1}xR_{0}x,R_{0}={\frac {1}{z-G_{0}-G_{1}{\frac {1}{z-xG_{0}x}}xG_{1}x}}$

Beachte:

$xG_{0}x=H_{0}\otimes \sigma _{0}-H_{3}\otimes \sigma _{3},xG_{1}x=H_{1}\otimes \sigma _{0}+iH_{2}\otimes \sigma _{3}$