Stiefel-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Eduard Stiefel die Basen eines Vektorraumes.

Definition

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$ der (Schief-)Körper der reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen und sei $V=\mathbb {K} ^{n}$ ein $n$-dimensionaler $\mathbb {K}$-Vektorraum. Sei $0\leq k\leq n$.

Dann ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ definiert als Menge aller $k$-Tupel linear unabhängiger Vektoren.

Wirkung der linearen Gruppe

Die Gruppe $GL(n,\mathbb {K} )$ wirkt transitiv auf $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ mit Stabilisator $GL(k,\mathbb {K} )$, man erhält also eine Bijektion

$V_{k}(\mathbb {K} ^{n})=GL(n,\mathbb {K} )/GL(k,\mathbb {K} )$.

Tatsächlich wirken sogar die orthogonalen bzw. unitären Gruppen bereits transitiv und man erhält Bijektionen

${\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong {\mbox{O}}(n)/{\mbox{O}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong {\mbox{U}}(n)/{\mbox{U}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong {\mbox{Sp}}(n)/{\mbox{Sp}}(n-k).\end{aligned}}$

Topologie

Man benutzt die Bijektion $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})=GL(n,\mathbb {K} )/GL(k,\mathbb {K} )$, um auf $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ eine Topologie zu definieren, mit der die Bijektion zu einem Homöomorphismus wird. Mit dieser Topologie werden die $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ zu Mannigfaltigkeiten der folgenden Dimensionen:

$\dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)$

$\dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})=2nk-k^{2}$

$\dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})=4nk-k(2k-1).$

Äquivalent kann man die Topologie auch definieren durch die kanonische Identifizierung von $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ mit $\mathbb {K} ^{nk}$.

Prinzipalbündel über der Graßmann-Mannigfaltigkeit

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit $G_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ ist die Menge der $k$-dimensionalen Untervektorräume des $\mathbb {K} ^{n}$.

Jedem $k$-Tupel linear unabhängiger Vektoren kann man den von ihm erzeugten Untervektorraum zuordnen, auf diese Weise definiert man eine Projektion

$V_{k}(\mathbb {K} ^{n})\rightarrow G_{k}(\mathbb {K} ^{n})$.

Die so definierten Projektionen sind Prinzipalbündel

${\begin{aligned}\mathrm {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\mathrm {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\mathrm {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n}).\end{aligned}}$