Prädikatenlogik
Die Prädikatenlogik ist ein Teilgebiet der Logik. Man kann sie als Erweiterung der Aussagenlogik ansehen, die zusätzlich zur Verknüpfung von Objkekten (z.B. durch und oder oder) auch Eigenchaften der Objekte und des Geltungsbereiches betrachtet, die durch Prädikatssymbole, Funktionssymbole und Quantoren beschrieben werden.
Die Prädikatenlogik beschäftigt sich mit Aussagen beschäftigt
- "Es gibt ein Objekt mit der Eigenschaft ...."
- "Für alle Objekte XY gilt ...."
Beispiel:
- "Alle Metalle leiten den Strom."
- "Kupfer ist ein Metall."
Daraus lässt sich auch ohne Kenntnisse der Prädikatenlogik schließen:
- "Kupfer leitet den Strom."
In diesem Beispiel stellt in der ersten Aussage "Alle" einen Quantor dar, "leiten den Strom" ist ein Prädikat zu "Metalle". In der zweiten Aussage ist "ist ein Metall" ein Prädikat zu "Kupfer".
Die Prädikatenlogik jedoch gibt einen formalen Rahmen für diese konkrete Schlussfolgerung und darüber hinaus für viele andere weniger offensichtliche Fälle.
Häufig spricht man präziser von Prädikatenlogik erster Stufe. Diese zeichnet sich dadurch aus, dass Sätze des Typs "für jede Eigenschaft E, gilt folgendes..." nicht behandelt werden. Trotz dieser Einschränkung lässt sich aber mit der Prädikatenlogik erster Stufe die ganze Mengentheorie formalisieren und damit gewissermaßen fast das ganze Gebiet der Mathematik. Die Prädikatenlogik ist die klassische Logik, die der Mathematik zugrunde liegt.
Wie jeder Logikkalkül besteht die Prädikatenlogik aus
- Angaben, wie man systematisch formal korrekte Aussagen konstruiert,
- einer Menge von Axiomen, von denen jedes einzelne Axiom ebenfalls eine formal korrekte Formel darstellt,
- einer Menge von Regeln, die erlauben Sätze (Theoreme) aus früher hergeleiteten Sätzen oder den Axiomen herzuleiten.
Formal fügt die Prädikatenlogik der Aussagenlogik, die den Wahrheitsgehalt kombinierter Aussagen untersucht, folgende Elemente hinzu:
- Die Sätze sind hier in Erweiterung zur Aussagenlogik mit Quantoren versehen, die Aussagen über die Lösungszahl machen. Der ALL-Quantor sagt, dass für alle betrachteten Elemente oder Elementkombinationen eine (zusammengesetzte) Aussage zutrifft.
- Der EXISTENZ-Quantor sagt, dass mindestens für ein Element der betrachteten Elemente oder Elementkombinationen eine (zusammengesetzte) Aussage zutrifft.
Anwendung
Neben der Anwendung als Instrument für die Mathematik und Linguistik findet die Aussagenlogik insbesondere in der Konzeption und Programmierung von Expertenystemen und künstlicher Intelligenz eine Rolle.
Formeln der Prädikatenlogik lassen sich beispielsweise mit der Programmiersprache Prolog automatisch handhaben.
Eine Form der Wissensrepräsentation kann mit einer Sammlung von Ausdrücken in Prädikatenlogik erfolgen.
Siehe auch Logik