Diskussion:Drehmatrix

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Quaternionen

Formales: "Quaternion" ist ein Wikipedia-Artikel und kein Weblink, habe es angepasst.

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 09:38, 11. Sep. 2013 (CEST)

Homogene Matrizen

Hallo, sollte man nicht noch mit einarbeiten, dass man Rotationsmatrizen durch homogene Matrizen ersetzen kann und somit Rotationen und Translationen mit einer Matrix beschreiben kann.

Inhalt: Rotation des Vektorfeldes, Löschung

Sorry, dass ich den Inhalt dieses Artikels einfach so gelöscht hab. Der alte Inhalt definierte die Rotation eines Vektorfeldes. Soweit ich das sehe, hat das mit Rotationsmatrizen nichts zu tun. Leider gehören letztere (noch) nicht zu meinem Wissengebiet. Handelt es sich dabei vllt. um eine Orthogonale Matrix (en:orthogonal matrix)? --SirJective 22:39, 31. Dez 2003 (CET)

Bei orthogonalen Matrizen wird eher von Drehmatrix gesprochen. Rotationsmatrizen würde ich damit identifizieren, der Ausdruck ist aber ungewöhnlich. Hubi 07:39, 8. Jan 2004 (CET)

Mehrdimensionaler Fall

Matrizen fuer den mehrdimensionalen Fall waeren nett. (nicht signierter Beitrag von 212.202.170.168 (Diskussion) 16:48, 13. Mai 2004‎)

Drehmatrizen für den eindimensionalen Fall waeren langweilig.--MKI 21:03, 31. Mär 2005 (CEST)

Vielleicht war mit „mehrdimensional“ hier $\dim V\geq 4$ gemeint. --Martin Thoma 11:37, 11. Sep. 2012 (CEST)

Da nur seit einem Jahr keine Antwort darauf gekommen ist, ist das hier vermutlich erledigt.

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 09:39, 11. Sep. 2013 (CEST)

ist die Matrix für die Rotation um die y-Achse so richtig?

Dieser Baustein verhindert die automatische Archivierung dieses Abschnitts und seiner Unterabschnitte.
Damit sollen die wiederkehrenden (immer gleichen) Reklamationen reduziert werden. Franz (Diskussion) 12:03, 11. Sep. 2012 (CEST)

Ist die Matrix für die Rotation um die y-Achse so richtig? Müsste das Vorzeichen nicht gvertauscht werden?

Sie war nicht richtig, habe sie gerade angepasst (Andreas, 2005-08-11).

Die Matrix ist richtig, die Drehung (Gegenuhrzeigersinn) leider nicht. Muss lauten: $p=R\cdot p'$ bzw. $p'=R^{-1}\cdot p$ (Chadong, 2005-09-15)

Was soll an $p'=R\cdot p$ falsch sein? Für mich ist das eine Drehung des Vektors p unter Verwendung der Matrix R, wobei p' entsteht. (Andreas, 2006-01-24)

Genau, die Matrix für die Rotation um die y-Achse müsste nämlich so aussehen :

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$,

(Sebastian, 2008-1-17)

Die passive Drehung sollte vielleicht noch berichtig werden $p=R^{-1}\cdot p'$ bzw. $p=R^{T}\cdot p'$. Glaube ich. (Ernald, 2008-02-12)

Die Rotationsmatrix scheint mir in Konsequenz mit den anderen Drehmatrizen leider nicht richtig zu sein. Um sich das klar zu machen, sollte man mit der rechten Hand das sogenannte Rechte-Hand-System aufspannen. Dann schaue man von oben auf den Zeigefinger (y-Achse), so daß der Mittelfinger (z-Achse) nach rechts zeigt und der Daumen (x-Achse) nach oben (Tip: das tut nach kurzer Zeit weh, daher vielleicht jemand anderen bitten, die rechte Hand so auf einen zu richten, als würde er eine Pistole mit der Hand formen und mit dem Lauf auf einen zielt :-)

Betrachten wir nun, was aus der x-Achse (dem Daumen) wird, wenn wir die Hand aus unserer Sicht um den Zeigefinger gegen den Uhrzeigersinn drehen. Der Daumen landen auf

${\begin{pmatrix}\cos \alpha \\0\\-\sin \alpha \end{pmatrix}}$

des ungedrehten (ursprünglichen) Sytems.

Die dritte Achse (der Mittelfinger) landet auf

${\begin{pmatrix}\sin \alpha \\0\\\cos \alpha \end{pmatrix}}$

des ungedrehten Systems.

Zusammengesetzt ergibt sich somit als Drehung um die y-Achse:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$

Tip: auf der englischen Seite ist es richtig...

(Michael, 2008-08-01)

die y-Drehmatrix stimmt (schon wieder?) nicht. Sie passt vom Vorzeichen her nicht zu den anderen beiden. sieht man sich die nebendiagonale mit dem 1-Eintrag an, muss immer rechts-oberhalb vom 1er ein sin(x) stehen, und links-unterhalb vom 1er ein minus sin(x). Ich habs korrigiert. (Karl, 2009-05-03)

Erst den Artikel lesen, dann ändern. Es gibt zwei Varianten, eine Drehmatrix zu definieren, in diesem Artikel wurde eine gewählt, dies wurde konsequent durchgezogen und das ausgerechnet an einer einzigen Matrix zu ändern und dabei völlig zu ignorieren was eigentlich im Artikel steht ist schon ziemlich unsinnig, oder? --P. Birken 22:30, 3. Mai 2009 (CEST)

Die drei Matrizen sind nun inkonsistent. Es ist mir schon klar, dass es ZWEI varianten gibt. Einmal, um eine Koordinatentransformation durchzuführen, und einmal um einen Punkt zu drehen. Zweitere ist die hier angeführte. Beide unterscheiden sich nur durch die Vorzeichen der sin(x)-terme. Wie gesagt: einfach einmal die Nebendiagonale anschreiben, die den 1er enthält. Dabei darf sich die Reihenfolge unter den 3 Matrizen nicht unterscheiden. Und die y-Matrix bildet hier nun eine Verletzung der Regel. Der Winkel alpha ist doch immer in die Drehrichtung der Drehachse definiert. Also: x nach y, y nach z und z nach x (rechte Handregel, Korkenzieherregel, ... - Rechtssystem!) Konsequenterweise muss die y-Drehmatrix so wie oben aussehen:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$ (nicht signierter Beitrag von 85.127.2.40 (Diskussion | Beiträge) 21:39, 4. Mai 2009 (CEST))

Die x-Achse landet bei Drehung um die y-Achse auf der z-Achse. Sprich: $D_{y}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$, während die z-Achse auf der negativen x-Achse landet, also $D_{y}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}$. Dies wird durch die Matrix $D_{y}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$ geleistet. Wundert ja auch nicht, es muss doch jedem auffallen, dass die Drehung um die y-Achse kein Sonderfall sein kann und entsprechend die Matrix ganz analog zu den anderen sein muss. In der Drehebene, sprich bei Entfernen von 2. Zeile und spalte muss die Matrix den zweidimensionalen Fall wiederspiegeln. --P. Birken 20:09, 6. Mai 2009 (CEST)

Hm. Wenn ich die rechte-Hand-Regel (so wie sie im Artikel beschrieben ist) in einem Rechts-System anwende drehe ich die x-Achse auf die negative z-Achse und die z-Achse auf die positive x-Achse. Wenn die Matrix die jetzt im Artikel steht richtig ist, dann ist die Matrix zur Drehung um einen beliebigen Einheitsvektor falsch in Bezug auf die strittigen Vorzeichen. Gruß--Alexkin 20:53, 6. Mai 2009 (CEST)

Tatsache, ich falle gerade vom Glauben ab. Ich massier den Artikel mal. --P. Birken 21:27, 6. Mai 2009 (CEST)

Danke für die überfällige Korrektur. Gruss --Yasavul 11:22, 7. Mai 2009 (CEST)

Um zukünftigen Sichtern das Leben leichter zu machen möchte ich einfach mal festhalten: Die Drehmatrix für eine Drehung um die y-Achse hat die Gestalt

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$

Dabei wird die positive z-Achse in Richtung der positiven x-Achse gedreht. Für den Spezialfall $\alpha =90^{\circ }$ wird also die positive z-Achse auf die positive x-Achse gedreht, die Matrix bekommt dann die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

Der Grund dafür, dass die Matrix gegenüber den andern beiden "falsch" aussieht, liegt darin, dass man um aus der einen die andere zu erhalten die Spalten und Zeilen zyklisch vertauschen muss. -- Digamma 19:47, 24. Jul. 2010 (CEST)

Alternative Erklärung

Da immer wieder die Vorzeichen der Drehmatrix $R_{y}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$ geändert werden, gebe ich hier noch eine Begründung für die Korrektheit obiger Version. Im Artikel heißt es im unmittelbar vorangehenden Absatz:

„Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung sieht.“

Drehen wir also testhalber einmal den in die positive z-Richtung zeigenden Einheitsvektor (0,0,1) um 90° im Sinne der Geometrie (also entgegen dem Uhrzeigersinn): Wenn wir bei einem Rechtssystem entgegen der positiven y-Richtung (also in negativer y-Richtung (0,-1,0)) blicken, erkennen wir, daß das Ergebnis dieser Drehung der in positive x-Richtung weisende Einheitsvektor (1,0,0) ist:

Hält man sich die Spitze des rechten Zeigefingers an die eigene Nase, so müßte man den Mittelfinger um 90° gegen den Uhrzeigersinn drehen, um ihn in die Lage des Daumens überzuführen.

Das wird auch durch die Rechnung

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot \ {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

bestätigt, während

${\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\cdot \ {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}$

eine Drehung im Uhrzeigersinn (also um -90°) ergäbe.

--Franz 12:50, 8. Feb. 2012 (CET)

Formaler Fehler bei der Herleitung der Drehmatrix

Der Winkel Phi der Anfangskoordinaten x1 und y1 ist in der Definition mit einem kleinen phi bezeichnet aber in der Folge mit einem großen obwohl es sich um den selben Winkel handelt- (nicht signierter Beitrag von Photonenattacke (Diskussion | Beiträge) 21:08, 2. Dez. 2009 (CET))

Nicht nur das, sie funktioniert auch nur wenn p1 die Länge 1 hat. (nicht signierter Beitrag von 78.34.252.140 (Diskussion | Beiträge) 22:42, 23. Feb. 2010 (CET))

Ich hab mal die Herleitung auf beliebige Vektoren erweitert--Marc.reichenbach 17:42, 17. Mai 2011 (CEST)

Hmm, ob das so sinnvoll war, ... Wenn man mit dem Vorhaben startet, eine Matrix zu berechnen, geht man doch eh schon davon aus, dass die Abbildung linear ist, Skalierungen also mit ihr kommutieren. (Und eigentlich sogar die Abbildungsresultate der Standardbasisvektoren ausreichen, um die Abb. festzulegen.) --Daniel5Ko 18:34, 17. Mai 2011 (CEST)

Genau. Man sollte nicht die Additionstheoreme für die Herleitung der Drehmatrix verwenden. Vielmehr kann man durch Multiplikation von Drehmatrizen die Additionstheoreme beweisen. Sei mutig :-)-- Digamma 22:11, 17. Mai 2011 (CEST)

Zu Deiner Frage zu den Additionstheoremen: Vielleicht sollte man es nicht Herleitung der Additionstheoreme nennen, sondern "Verkettung von Drehungen". Der Leser kann sich dann auswählen, ob er es als Herleitung der Additionstheoreme auffasst oder als Aussage, dass die Verkettung von zwei Drehungen eine Drehung um die Summe der Winkel ist. -- Digamma 17:33, 18. Mai 2011 (CEST)

Gute Idee. Hab's mal entsprechend ein wenig umformuliert. --Daniel5Ko 18:22, 18. Mai 2011 (CEST)

Die Rotationsmatrizen waren irgendwie bösartig verdreht

alle Matrizen und Angaben entsprechen nun denen aus dem angesehenen Buch „Computer Graphics - Principles and Practice“ von Foley, van Dam et.al

Missverständliche Formulierung

Findet noch jemand, dass "wenn man entlang der positiven Drehachse auf den Ursprung guckt" missverständlich formuliert ist? Wenn man nämlich von einem Punkt auf der positiven Halbachse in Richtung Ursprung schaut, dann hat man die verkehrte Richtung erwischt. Besser wäre "wenn man die Drehachse in positiver Richtung entlangschaut".

Es entspricht eher der Intuition, von außen auf das Koordinatensystem zu schauen statt im Ursprung zu sitzen, wodurch sich diese Definition ergibt. Jedenfalls drehen die angegebenen Matrizen in einem Rechtssystem mit dieser Definition in positive Richtung (Gegenuhrzeigersinn). --Markus (Mh26) ✉ 19:01, 24. Jul 2005 (CEST)

Ich schlage als eindeutige und intiuitive Formulierung die "rechte-Hand-Regel" vor: Lässt man den rechten Daumen in Richtung der Drehachse zeigen, so geben die restlichen Finger der Hand die positive Drehrichtung an. (Andreas, 2005-08-11)

Rotationsmatrix für Kugelkoordinaten?

Ich habe mich schon totgegooglet, und auch in der Wikipedia bin ich bisher nicht fündig geworden, um Kugelkoordinaten von einem Koordinatensystem auf ein anderes (gedrehtes) System mit gleichen Zentrum umzuwandeln. :-( --RokerHRO 07:47, 11 November 2005 (CET)

Rotationsmatrix versus Drehmatrix

Ich bin in meinem Studium (ab 1970) nie einer "Rotationsmatrix" sondern immer nur "Drehmatrizen" begegnet und bin etwas erstaunt, bei google mit 873:781 für Singular und 491:632 für Plural fast einen Gleichstand zu finden. Ich rotiere einen Gegenstand um 10° - klingt nicht toll, genau so etwas beschreiben aber diese Matrizen. Rotation ist dagegen eine Bewegung mit einer bestimmten Frequenz. Bei der google-Suche in Kombination mit "Uni" dominieren immerhin die "Drehmatrizen" deutlich. Ich denke, da schleicht sich mal wieder ein Anglizismus ein (rotation matrix). Das sollten wir wirklich nicht unterstützen. Hab's daher mal umbenannt. --Wolfgangbeyer 22:24, 11. Jan 2006 (CET)

Nur so nebenbei, in meinem Studium (Mathe,ab 1996) hießen die Dinger Rotationsmatrizen und niemals Drehmatrizen. In der Geometrie ist eine Rotation einfach die Drehung eines Objektes um einen bestimmten Winkel. Ich werds mal wieder in den Artikel einfügen. Stefanwege 23:48, 12. Jan 2006 (CET)

Vorzeichen falsch?

Meiner Meinung nach wird bei der Rotationsmatrix in unterschiedlicher Richtung gedreht.

Dort steht das auch anders: http://www.grundstudium.info/animation/node14.php Sowie in anderen (engl., franz.) Versionen von Wikipedia

-- 85.124.26.27 08:44, 22. Aug 2006 (CEST)

Ja, seh ich auch so -- Simon Martin 16:07, 2. Mär. 2007 (CET)

Ich vermute, hier geht es wieder um die Drehung um die y-Achse. Dazu gibt es weiter oben schon eine ausführliche Diskussion. --Martin Thoma 09:51, 11. Sep. 2013 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 09:51, 11. Sep. 2013 (CEST)

Vorzeichen der Drehmatrizen

Wenn man sich die Änderungen der Seite anschaut so fällt auf, das in regelmäßigen Abständen an den Vorzeichen innerhalb der Drehmatrizen "korrigiert" wird. Auch auf dieser Diskussionsseite ist das immer wieder ein Thema. Woher kommt die Verwirrung um die korrekten Vorzeichen? Meiner Meinung nach sollte das Vorzeichen doch durch die "rechte-Hand-Regel" eindeutig definiert sein?! Zudem wurde doch auch schon einmal auf den "Foley, van Dam et.al" als Computergraphics-"Bibel" zurückgegriffen. Vielleicht sollte man einen eindeutigen Hinweis im Artikel platzieren, der die Vorzeichen als definitiv richtig markiert. Im aktuellen Zustand kann man sich jedenfalls nicht auf den Artikel verlassen, weil sich die Vorzeichen ständig ändern ... --BlueEntity 12:28, 25. Aug 2006 (CEST)

Ich stimme vollkommen mit der vorangehenden Meinung überein, werde die Vorzeichen nach der eindeutigen rechte-Hand-Regel ändern und einen Hinweis auf der Artikelseite platzieren. --Andreas Keil, 17. Aug 2007

Ich kann die Vorzeichen im jetzigen Zustand nicht nachvollziehen und denke daher weiterhin, dass sie "falsch" sind. Ich bin in PC-Graphiken nicht so bewandert, aber vielleicht könnte sich ja jemand anderes berufen fühlen das mal graphisch aufzubereiten.

Die Vorzeichen sind meiner Meinung nach derzeit korrekt und (das ist ganz besonders wichtig) für alle drei Drehachsen konsistent. Dies kann man leicht prüfen, in dem man die Einträge in der Matrix jeweils um eine Spalte und Zeile "shiftet". So ergibt sich aus der x-Rotation die y-Rotation, aus y dann z und aus z wieder x. Den aktuell eingebauten zusätzlichen Hinweis auf die Vorzeichen im Artikel finde ich sehr gut - jetzt kann man nur noch hoffen, dass die meisten Leute auch soweit lesen ;-). --BlueEntity 08:54, 24. Okt. 2007 (CEST)

Ich finde den "Bitte Beachten" Hinweis gut und wichtig, aber missverständlich formuliert: Ob ich nun die Koordinatenachsen drehe oder nur ein Objekt relativ zu diesen, hängt von meiner Betrachtungsweise ab, nicht von der Vorzeichenwahl. Der Unterschied des Vorzeichens legt bei gleicher Betrachtungsweise zunächst lediglich die Richtung der Drehung fest.

Vektor n

Im Text wird der Vektor n bei der allgemeinen Definition von Rotationsmatrizenverwendet, aber vorher nicht definiert. Ist das der Normalenvektor, oder der Normaleneinheitsvektor, oder...? Außerdem sollte man auch sagen, daß \phi der Drehwinkel ist. Und wenn man schon sagt, daß das eine allgemeine Definition von Drehungen ist, sich nicht auf den R^3 beschränken. 11. Dez 2006, 9:58

Dem stimme ich voll zu; wenn hier Symbole verwendet weren, sollte man auch dazu schreiben, was sie bedeuten, sonst kann man ja gleich von Quark und Milchstraße reden...Das passt hier alles hinten und vorne nicht!

Was soll denn zum Beispiel das \epsilon oder das \gamma bedeuten? Wenn e_\alpha ein Vektor ist, so ist e_\alpha\cdot e_\alpha ist eine Zahl, Ist I die Einheitsmatrix, kann man hier keine Zahl abziehen... 14:20, 21. Sep. 2007 (CEST)

Spur der Drehmatrix

Ganz unten auf der Seite steht, dass die Spur der Drehmatrix Tr D = 1 + 2cos(alpha) beträgt. Das klingt so, als ob es generell gelte, es gilt aber nur für O(3). In O(2) beispielsweise beträgt die Spur 2cos(alpha). Ich hab es mal dazugeschrieben. Ob es eine allgemeine Formel gibt, weiß ich nicht. 28.06.2007

Drehachse

Ich möchte nur anmerken, dass in geraden Dimensionen eine Drehachse nicht zu existieren braucht.

Konstantin

Definition der Drehmatrix

Unter dem Punkt "Allgemeine Definition" findet sich unter Punkt b) die Orientierungserhaltung. Kann da mal jemand eine formalisierte Aussage treffen und wie grenzt sich das von Punkt a) ab? Ist vielleicht die Längenerhaltung gemeint? 85.177.178.39 22:54, 26. Apr. 2008 (CEST)

Allgemeine Definition

Ich denke, dass die Definition $R={\vec {n}}\cdot {\vec {n}}+\cos \phi [{\vec {I}}-{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}]+\sin \phi {\vec {J}}$ bzw. ${R}_{\alpha \beta }=n_{\alpha }n_{\beta }+\cos \phi ({\delta }_{\alpha \beta }-n_{\alpha }n_{\beta })-\sin \phi {\varepsilon }_{\alpha \beta \gamma }n_{\gamma }$ nur für Drehmatritzen im 3-dimensionalen Raum gilt (der Levi-Civita-Tensor scheint mir hier nur für 3 Dimensionen definiert zu sein, ich weiß nicht, wie er für $\alpha ,\beta ,\gamma >3$ definiert ist). Diese Definition scheint mir fehlplatziert, vorallem nach der allgemeinen Definition unter den Punkten a) und b), die auf Längen-, Winkel- und Orientierungserhaltung beruhen. Eine allgemeine Definition der Komponenten für $n\times n$-Matritzen wäre wünschenswert.

Multiplikation der Drehmatrizen gleich Euler-Winkel-Matrizen?

In dem Abschnitt http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_R.C2.B3 steht, dass die drei Matrizen für die Drehung um die Achsen in Kombination auch als Euler-Winkel ausgedrückt werden können. Sind diese Eulerschen Winkel und die Multiplikation der Matrizen das gleiche? Wenn ich die Matrizen miteinander multipliziere, erhalte ich die Matrix $R={\begin{pmatrix}cosZcosY+(-sinZ-sinX-sinY)&cosZ+(-sinZcosX)&cosZsinY+(-sinZ-sinXcosY)\\sinZcosY+cosZ-sinX-sinY&sinZ+cosZcosX&sinZsinY+cosZ-sinXcosY\\cosX-sinY&sinX&cosX*cosY\end{pmatrix}}$

(Hat ein Computerprogramm erzeugt), die mit keiner der Eulerschen-Winkel-Konventionen im Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel übereinstimmt. (nicht signierter Beitrag von 94.222.35.9 (Diskussion | Beiträge) 14:48, 8. Mär. 2010 (CET))

R_n(alpha)

$R_{\hat {n}}(\alpha )={\begin{pmatrix}n_{1}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)+\cos \alpha &n_{1}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{3}\sin \alpha &n_{1}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{2}\sin \alpha \\n_{2}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{3}\sin \alpha &n_{2}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)+\cos \alpha &n_{2}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{1}\sin \alpha \\n_{3}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)-n_{2}\sin \alpha &n_{3}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)+n_{1}\sin \alpha &n_{3}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)+\cos \alpha \end{pmatrix}}$

$R_{\hat {n}}(\alpha )={\begin{pmatrix}n_{1}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{1}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{1}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)\\n_{2}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{2}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{2}n_{3}\left(1-\cos \alpha \right)\\n_{3}n_{1}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{3}n_{2}\left(1-\cos \alpha \right)&n_{3}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-n_{3}\sin \alpha &n_{2}\sin \alpha \\n_{3}\sin \alpha &\cos \alpha &-n_{1}\sin \alpha \\-n_{2}\sin \alpha &n_{1}\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$

$R_{\hat {n}}(\alpha )={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{pmatrix}}\cdot \left(1-\cos \alpha \right)+{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-n_{3}\sin \alpha &n_{2}\sin \alpha \\n_{3}\sin \alpha &\cos \alpha &-n_{1}\sin \alpha \\-n_{2}\sin \alpha &n_{1}\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$

$R_{\hat {n}}(\alpha )={\hat {n}}\cdot {\hat {n}}^{T}\cdot \left(1-\cos \alpha \right)+{\begin{pmatrix}\cot \alpha &-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&\cot \alpha &-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&\cot \alpha \end{pmatrix}}\cdot \sin \alpha$— Christoph Päper

Winkel alpha

Der Autor möge doch bitte ganz zu Anfang eine Winkeldefinition festlegen. Alles einfach Alpha nennen, ohne zu zeigen wie Alpha definiert ist, ist nicht sehr hilfreich. (nicht signierter Beitrag von 79.243.170.223 (Diskussion) 11:45, 24. Jun. 2013 (CEST))