Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für unabhängige Bernoulli-Experimente. Es werden zwei unterschiedliche Verteilungen definiert:

• die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl $X$ der Bernoulli-Versuche, die notwendig sind, um einen Erfolg zu haben. Diese Verteilung ist auf der Menge { 1, 2, 3, ...} definiert.

• die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl $Y=X-1$ der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg. Diese Verteilung ist auf der Menge { 0, 1, 2, ...} definiert.

Welche der beiden Verteilungen man „geometrische Verteilung“ nennt, wird entweder vorher festgelegt oder man wählt diejenige, die gerade zweckmäßiger ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Versuch zu einem Erfolg führt, sei $p$. Dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass man genau $n$ Versuche braucht, um zu einem ersten Erfolg zu kommen, wie folgt berechnen:

$P(X=n)=p\cdot (1-p)^{n-1}$ für $n=1,2,3,...$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass vor dem ersten Erfolg $n$ Misserfolge liegen, berechnet sich ähnlich:

$P(Y=n)=p\cdot (1-p)^{n}$ für $n=0,1,2,...$.

In beiden Fällen bilden die Werte für die Wahrscheinlichkeiten eine geometrische Folge.

Die geometrische Verteilung taucht bei vielen Wartezeitproblemen auf.

Eine Verallgemeinerung der geometrischen Verteilung stellt die negative Binomialverteilung dar, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass für r Erfolge n Versuche notwendig sind.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Erwartungswerte der beiden geometrischen Verteilungen sind

$E(X)={\frac {1}{p}}$

und

$E(Y)={\frac {1-p}{p}}$

Varianz

Die Varianzen der beiden geometrischen Verteilungen sind

$\operatorname {V} (X)=\operatorname {V} (Y)={\frac {(1-p)}{p^{2}}}$

• Die kumulierte Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung ergibt sich zu

  $\sum _{n=1}^{N}P(X=n)=1-(1-p)^{N}$

• Konvergenz der geometrischen Verteilung: Für eine Folge $X_{1},X_{2},X_{3}\ldots$ geometrisch verteilter Zufallsvariablen mit Parametern $p_{1},p_{2},p_{3}\ldots$ gelte $\lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda$ mit einer positiven Konstante $\lambda$. Dann konvergiert die Folge ${\frac {X_{n}}{n}}$ für große n gegen eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter $\lambda$.

Gedächtnislosigkeit

Die geometrische Verteilung ist eine gedächtnislose Verteilung, d.h. es gilt

$P(X=n+k\,|\,X\geq n)=P(X=k)$

für alle natürlichen Zahlen n und k. Ist also von einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen bekannt, dass sie mindestens den Wert n hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie diesen Wert um k übertrifft genau so groß wie die, dass eine identische Zufallsvariable überhaupt den Wert k annimmt.

Die Gedächtnislosigkeit ist eine definierende Eigenschaft; die geometrische Verteilung ist also die einzig mögliche gedächtnislose diskrete Verteilung. Ihr stetiges Pendant hierbei ist die Exponentialverteilung.

Zufallszahlen

Zufallszahlen zur geometrischen Verteilung werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt. Diese Methode bietet sich bei der geometrischen Verteilung besonders an, da die Einzelwahrscheinlichkeiten der einfachen Rekursion $P(X=k+1)=(1-p)P(X=k)$ genügen. Die Inversionsmethode ist hier also nur mit rationalen Operationen (Addition, Multiplikation) und ohne die Verteilungsfunktion vorher zu berechnen und abzuspeichern durchführbar, was einen schnellen Algorithmus zur Simulation garantiert.

Weblinks

• Interaktive Arbeitsblätter zur geometrischen Verteilung auf MathePrisma