Stetige Funktion

[en:continuous]

Stetige Funktionen sind Funktionen mit weiter unten definierten Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Physik und Mathematik als beonders nützlich herausgestellt haben.

Definitionen

Im folgenden werden verschiedene Definitionen von Stetigkeit angegeben:

"Naive" Definition von Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph der Funktion "ohne Absetzen des Stiftes" gezeichnet werden kann - also die Funktionswerte keine Sprünge machen. Diese Definition von "Stetigkeit" ist mathematisch natürlich nicht exakt, wird aber gerne zur Anschauung benutzt.

Stetigkeit reelwertiger Funktionen

FIXME

Beispiele

• Sind f und g stetig, so sind auch f+g, fg stetig. Ist g(x) &ne, 0 für alle x im Definitionsbereich, dann ist auch f/g stetig.
• Die Komposition zweier stetiger Funktionen f o g ist ebenfalls stetig.

Stetige Funktionen zwischen metrischen Räume

Ein Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Auch dies ist nur eine Beschreibung, eine mögliche exakte Definition mittels des Epsilon-Delta-Kriterium ist folgende:

Seien (X,d_x), (Y,d_y) metrische Räume, dann heißt

$f:X\rightarrow Y{\mbox{ stetig in }}x_{0}:\Leftrightarrow \left(\forall \epsilon >0\,\exists \delta >0:\forall x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow d_{y}(f(x),f(x_{0}))<\epsilon \right)$

dabei bezeichnet U_δ(x_0) die offene δ-Umgebung um x₀, d.h.

$U_{\delta }(x_{0})=\{x\in X|d_{x}(x,x_{0})<\delta \}\quad .$

Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen

Noch allgemeiner lässt sich Stetigkeit zwischen topologischen Räumen wie folgt definieren (die Stetigkeit in metrischen Räumen ist eine Folgerung dieser Definition):

Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann heißt f stetig, wenn das Urbild von f von jeder in Y offenen Menge U wieder offen in X ist, oder etwas formaler:

$f:X\rightarrow Y{\mbox{ stetig }}:\Leftrightarrow \left(\forall \,U\subset Y,U{\mbox{ offen in }}Y\Rightarrow f^{-1}(U){\mbox{ ist offen in }}X\right)$