Z-Transformation

Die Z-Transformation wandelt ein diskretes Signal im Zeitbereich (also eine Folge von (im Allgemeinen) komplexen Zahlen) in ein komplexes Signal im Frequenzbereich um.

Definition

Die Z-Transformation eines Signals x[n] ist die formale Laurent-Reihe X(z):

$Z(\{x[n]\})=X(z):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$

wobei n alle ganzen Zahlen durchläuft. Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die Z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrable Funktion auf dem Einheitskreis.

Wenn x[n] nur für nichtnegative n (von Null verschiedene) Werte hat, kann die Z-Transformation wie folgt definiert werden:

$Z(\{x[n]\})=X(z):=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}$

Letztere wird unilaterale Z-Transformation genannt, die obere bilaterale. In der Signalverarbeitung wird die unilaterale für kausale Signale verwendet.

Eigenschaften

• Linearität. Die Z-Transformation von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale.

$Z({a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n)})=a_{1}Z({x_{1}(n)})+a_{2}Z({x_{2}(n)})\!$

• Verschiebung. Wird das des Signals im Zeitbereich um k nach rechts verschoben, so muss die Z-Transformierte mit z^−k multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach links kommen noch weitere Terme hinzu.

$Z({x(n-k)})=z^{-k}Z({x(n)})\!$

$Z({x(n+k)})=z^{k}(F(z)-\sum _{i=0}^{k-1}f_{i}z^{-i})$

• Faltung. Die Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich.

$Z({x(n)}*{y(n)})=Z({x(n)})Z({y(n)})\!$

• Differentiation .

$Z({nx(n)})={\frac {-z\partial Z({x(n)})}{\partial z}}$

Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen Z-Transformation

Es sei $f_{n}=f(n)$ und $F(z)$ deren Z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.

$f_{n}\circ -\bullet F(z)$

Dann gelten folgende Regeln:

${\begin{matrix}{\mbox{Verschiebungssatz}}&f_{n-k}&\circ -\bullet &z^{-k}F(z)\\&f_{n+k}&\circ -\bullet &z^{k}(F(z)-\sum _{i=0}^{k-1}f_{i}z^{-i})\\&f_{n+1}&\circ -\bullet &z^{1}(F(z)-f_{0})\\&f_{n+2}&\circ -\bullet &z^{2}(F(z)-f_{0}-f_{1}z^{-1})\\{\mbox{D}}\mathrm {\ddot {a}} {\mbox{mpfungssatz}}&a^{-n}\cdot f_{n}&\circ -\bullet &F(a\cdot z)\\{\mbox{Ableitung d. Bildf.}}&n\cdot f_{n}&\circ -\bullet &-z{\frac {dF(z)}{dz}}\\{\mbox{Spektraler}}&W(z)&=&U(z)\cdot V(z)\\{\mbox{Multiplikationssatz}}&w_{n}&=&\sum _{k=0}^{n}u_{n-k}\cdot v_{k}=\sum _{k=0}^{n}u_{k}\cdot v_{n-k}\\{\mbox{Differenzensatz}}&\Delta f_{n}&=&f_{n+1}-f_{n}\\&\Delta ^{2}f_{n}&=&\Delta f_{n+1}-\Delta f_{n}=f_{n+2}-2f_{n+1}+f_{n}\\&\Delta ^{2}f_{n}&\circ -\bullet &(z-1)^{2}F(z)-z((z-1)f_{0}+\Delta f_{0})\\&\Delta ^{k}f_{n}&\circ -\bullet &(z-1)^{k}F(z)-z\sum _{i=0}^{k-1}(z-1)^{k-i-1}\Delta ^{i}f_{0}\\{\mbox{Summensatz}}&\sum _{k=0}^{n}f_{k}&\circ -\bullet &z{\frac {F(z)}{z-1}}\\{\mbox{1. Grenzwertsatz}}&f_{k}&=&\lim _{z\to \infty }z^{k}\cdot (F(z)-\sum _{n=0}^{k-1}z^{-n}f_{n}\\&f_{0}&=&\lim _{z\to \infty }F(z)\\{\mbox{2. Grenzwertsatz}}&\lim _{n\to \infty }f_{n}&=&\lim _{z\to 1}(z-1)F(z)\\{\mbox{Stabilit}}\mathrm {\ddot {a}} {\mbox{t}}&|z_{PK}|<1&&\rightarrow {\mbox{asympt. Stabilit}}\mathrm {\ddot {a}} {\mbox{t}}\end{matrix}}$

Inverse Z-Transformation

Die inverse Z-Transformation kann wie folgt berechnet werden:

$x(n)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}\,dz$

wobei c irgendeine geschlossene Kurve um den Ursprung ist und im Konvergenzbereich von X(z) liegt.

Die (unilaterale) Z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.

Inverse unilaterale Z-Transformation

Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet $|z|>R$ und $\lim _{z\to \infty }F(z)<\infty$

mit Residuum

${\begin{matrix}f(0)&=&F(\infty )=\lim _{z\to \infty }F(z)\\f(nT)&=&\sum _{i=1}^{m}{Res \atop z=z_{i}}(F(z)z^{n-1}),\quad neN\end{matrix}}$

mit Laurent Reihe

Der Integrant $f(z)\cdot z^{n-1}$ wird in eine Laurent Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient -1 der Laurent Reihe, also $f(n\tau )=A_{-1}$.

Bei der Entwicklung in eine Reihe sind folgende Beziehungen nützlich: ${\begin{matrix}(a+b)^{n}&=&\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}\\{n \choose k}&=&{n \choose n-k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\end{matrix}}$ für n<k

Beispiel 1:

${\begin{matrix}{\frac {z^{n}}{z-1}}&=&{\frac {(1+(z-1))^{n}}{z-1}}&=&\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}1^{n-k}(z-1)^{k-1}=\sum _{k=-1}^{n-1}{n-1 \choose k+1}1^{n-k}(z-1)^{k}\\A_{-1}&=&{n-1 \choose 0}\cdot 1^{n-1}(z-1)^{0}&=&1\\\end{matrix}}$

Beispiel 2:

${\begin{matrix}{\frac {e^{zt}}{z-a}}&=&{\frac {e^{at}}{z-a}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {((z-a)t)^{k}}{k!}}=e^{at}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-a)^{k-1}\cdot t^{k}}{k!}}\\A_{-1}&=&e^{at}{\frac {t^{0}}{0!}}=e^{at}\end{matrix}}$

Bei wesentlicher Singularität

${\begin{matrix}f(n\tau )&=&{\frac {1}{n!}}\cdot \left({\frac {d^{n}}{dz^{n}}}f(1/z)\right)_{z=0}\end{matrix}}$

Berechnungsverfahren

Z-Transformationen mit einem begrenzen Bereich von n und einer begrenzten Anzahl von z-Werten können effizient mit dem Bluestein-FFT-Algorithmus berechnet werden. Die Diskrete Fourier-Transformation (kurz: DFT) ist ein spezieller Fall der Z-Transformation bei der z nur auf dem Einheitskreis liegt.

Literatur

• Norbert Bischof: Struktur und Bedeutung. 1998, ISBN 3456830807 (Systemtheorie für Psychologen, mit einer sehr leicht verständlichen Einführungen in die Operatorenrechnung, Z-Transformation usw.)