Division (Mathematik)

$20:4=5$

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird zwar im Schulunterricht der Primarstufe gelehrt und noch in Schulbüchern für die 5. Klasse dargestellt, spielt aber nach Einführung elektronischer Hilfsmittel kaum noch eine Rolle.

Definition

Teilen oder dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl a (dem ersten Faktor) eine passende Zahl x (den zweiten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt b ergibt:

• Finde zu gegebenem a und b ein x, sodass a·x = b.

Beschränkt man sich auf natürliche oder auf ganze Zahlen, so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen oder in den Körpern der reellen sowie der komplexen Zahlen, gilt dagegen:

Für jede Zahl $a$ und für jede von null verschiedene Zahl $b$ gibt es genau eine Zahl $x$, die die Gleichung a·x = b erfüllt.

Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses $x$. Man schreibt

$x=a:b\,$   (gelesen: „x gleich a geteilt durch b“ oder kurz „x gleich a durch b“ oder auch „x gleich a dividiert durch b“).

Dabei heißen:

Die Zahl $a$, die geteilt wird, „Dividend“ (lateinisch das zu Teilende), in der Bruchrechnung auch „Zähler“.

Die Zahl $b$, durch die geteilt wird, „Divisor“ (der, der teilt), in der Bruchrechnung auch „Nenner“.

Der Term $a:b$ heißt „Quotient“.

Das Ergebnis der Division heißt „Wert des Quotienten“ oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz.

Für $x=a:b$ gilt außerdem $x={\tfrac {1}{b}}\cdot a$.

Die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung von $x$ lässt sich also auch mit der Multiplikation der Umkehrung (Gegenteil) des 1 Faktors bestimmen.

Siehe auch: Kehrwert

Division durch null

Anschaulich

Beispiel aus einer Konditorei :

Wenn man zwei Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viele Stücke Kuchen bekommt dann jede Person?

Es ist nicht möglich, diese Frage zu beantworten, da niemand da ist, der die Kuchen bekommen könnte.

Bei solch einem realen Problem wird das Problem der Verteilung pragmatisch gelöst. Manchmal werden hier auch Sonderregelungen getroffen. Anschaulich geschieht dies zum Beispiel im Erbrecht. Sind keine Personen da, die als gesetzliche Erben in Frage kommen, müsste das Erbe genau wie oben der Kuchen auf 0 Personen aufgeteilt werden. In Deutschland ist nach § 1936 BGB der Fiskus des Bundeslandes, dem der Erblasser zum Zeitpunkt des Todes angehört hat, der gesetzliche Erbe (sog. Staatserbrecht). Auch das Problem der Konditorei ("Wer bekommt den Kuchen, wenn niemand ihn haben will?") wird in der Realität pragmatisch gelöst. Im schlimmsten Fall bekommt den Kuchen die Müllkippe.

Übersetzt man das anschauliche Verteilungsproblem in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen (Interpretationen), wird aus der anschaulichen Frage "Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze ?" das rein mathematische Problem "Wie dividiere ich durch 0 ?" Für das mathematische Problem gibt es keine pragmatische Ersatzlösung. Die Division durch 0 kann mathematisch nicht sinnvoll definiert werden, was nun bewiesen wird.

Mathematischer Beweis

Der Quotient $a:b$ ist Lösung der Gleichung $b\cdot x=a$, also $x=a:b$. Wollte man durch 0 dividieren, müsste b = 0 sein.

Fall 1 : $a=b=0$ : Die Gleichung $0\cdot x=0$ wird für alle Einsetzungen von Zahlen bei x in eine wahre Aussage überführt , hat also unendlich viele Lösungen. Damit ist aber der Bruch ${\tfrac {0}{0}}$ nicht eindeutig definiert und ist daher unbestimmt.

Fall 2 : $b=0;a\neq 0$ : Die Gleichung $0\cdot x=a$ hat überhaupt keine Lösung.

Da also der Quotient $a:0$ entweder gar keine (für $a\neq 0$) oder mehr als eine Lösung (für $a=0$) hat, sagt man in der Mathematik :

„Die Division durch null kann nicht definiert werden.“

Division durch null im Computer

In elektronischen Rechnersystemen erzeugt eine Division durch null meist $\pm \infty$ (bzw. NaN im Falle von 0/0), einen Laufzeitfehler oder wird anderweitig mit einer Ausnahmebehandlung abgefangen, da ein Weiterrechnen mit einem undefinierten Zwischenergebnis nicht sinnvoll wäre. Bei unachtsamer Programmierung können Divisionen durch null zu Fehlverhalten im laufenden Programm führen und in seltenen Fällen (zum Beispiel bei Auftreten im Betriebssystemkern) sogar den gesamten Rechner zum Absturz bringen.

Division mit Rest

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt es bleibt ein Rest übrig. Siehe Hauptartikel: Division mit Rest.

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division (siehe hierzu Geteiltzeichen):

$a:b$ oder $a\div b$ oder $a/b$ oder ${\frac {a}{b}}$ oder $a\cdot b^{-1}$.

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die vorletzt erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz (echter) Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

Unechte Brüche und gemischte Zahlen

Als unechten Bruch bezeichnet man einen Bruch, bei dem der Zähler einen größeren Betrag hat als der Nenner. Den Wert eines solchen Bruches kann man alternativ als gemischte Zahl schreiben, bestehend aus dem ganzzahligen Ergebnis der Division mit Rest und einem echten Bruch aus Divisionsrest und Nenner, zum Beispiel

${\frac {3}{2}}={\frac {2}{2}}+{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{2}}=1{\frac {1}{2}}=1{,}5.$

Eine gemischte Zahl ist nicht mit einer Multiplikation zu verwechseln:

$1{\frac {1}{2}}\neq 1\cdot {\frac {1}{2}}$

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Siehe auch

• Rationale Funktion – Division von Funktionen
• Gruppentheorie
• Ring
• Schiefkörper
• Divisionsalgebra
• Teilbarkeit
• Kehrwert
• Polynomdivision
• Vedische Mathematik - Vereinfachte Methode zum Dividieren

Literatur

• S. A. Stepanov: Division. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Weblinks

Commons: Division (mathematics) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Mathematik: Schulmathematik: Division – Lern- und Lehrmaterialien

Wiktionary: Division – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen