Quersumme
Als Quersumme bezeichnet man die Summe der Ziffern einer natürlichen oder ganzen Zahl. Die Quersumme von 513 ist 5+1+3=9. Für 3 und 9 ist sie ein Teilbarkeitskriterium: Die Quersumme einer dezimalen Zahl n ist genau dann durch 3 oder 9 teilbar, wenn n durch 3 oder 9 teilbar ist.
Eine Verallgemeinerung sind gewichtete Quersummen, bei denen die Ziffern erst mit den Werten einer Zahlenfolge multipliziert und diese Ergebnisse dann aufaddiert werden. Es wird dabei mit der niederwertigsten Ziffer begonnen (bei der einfachen Quersumme ist die Reihenfolge egal). Ein Beispiel ist die periodische Folge 1, 3, 2, -1, -3, -2, ... Die gewichtete Quersumme der Zahl 422.625 ist (bei der niedrigsten Stelle angefangen):
- 5·1 + 2·3 + 6·2 - 2·1 - 2·3 - 4·2 = 5 + 6 + 12 - 2 - 6 - 8 = 7
Die so gewichtete Quersumme liefert eine Teilbarkeitsregel für die Zahl 7. Auch für andere natürliche Zahlen kann man solche periodischen Folgen finden, z.B.
- für 11 die Folge +1, -1, ... Diese liefert die sogenannte alternierende Quersumme
- für 13 die Folge 1, -3, -4, -1, 3, 4, ...
Für die meisten Zahlen ist es jedoch nicht praktikabel, die Teilbarkeit mittels Quersummenbildung zu überprüfen.
Es gilt für ein Zahlensystem mit der Basis n+1, dass eine Zahl durch eine Zahl t teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch t teilbar ist und n durch t teilbar ist.
Beispielsweise ist im Dezimalsystem n=9. Damit ist t ∈ {1,3,9}. Folglich kann man die Quersummenregelung zur Überprüfung der Teilbarkeit auf die Teilbarkeit durch drei und durch neun anwenden.
Im Hexadezimalsystem ist n=15. Damit ist t ∈ {1,3,5,15}. Folglich kann man die Quersummenregelung im Hexadezimalsystem zur Überprüfung der Teilbarkeit auf die Teilbarkeit durch drei, durch fünf und durch fünfzehn anwenden.
Links
- http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/prgquer.htm
- Kleines VB Programm zur Berechnung der Quersumme