Quadratur des Rechtecks

Die Quadratur des Rechtecks ist eine klassische Aufgabe der Geometrie. Mit Lineal und Zirkel soll aus einem gegebenen Rechteck ein Quadrat mit gleich großer Fläche gezeichnet werden. Im Gegensatz zur Quadratur des Kreises, die unlösbar ist, ist die Quadratur des Rechtecks auf zwei verschiedene Arten möglich.

Ausgangspunkt für beide Konstruktionen sind zwei auf Euklid zurückgehende mathematische Gesetze des rechtwinkeligen Dreiecks, der Höhensatz und der Kathetensatz.

In einem rechtwinkeligen Dreieck seien a und b die, den rechten Winkel einschließenden, Katheten und c die Hypotenuse. h sei die Höhe auf die Seite c, und p bzw. q seien die beiden Hypotenusenabschnitte. Dann gelten folgende Beziehungen:

$h^{2}=p\cdot q$ (Höhensatz von Euklid)

$a^{2}=c\cdot p$ und $b^{2}=c\cdot q$ (Kathetensatz von Euklid)

Methode mit dem Höhensatz

Ganz egal, welche Proportionen das gegebene (hier grüne) Rechteck hat: Wir nehmen an, seine eine Seite wäre der Hypothenusenabschnitt p und seine andere Seite der Hypothenusenabschnitt q eines rechtwinkeligen Dreiecks. Dann schwenken wir die (hier) kürzere Seite des Rechtecks um 90° und erhalten die Basis eines rechtwinkeligen Dreiecks. Über dieser Basis zeichnen wir einen Thaleskreis. Die Verlängerung der kürzeren Rechteckseite schneidet den Thaleskreis und liefert die Höhe des rechtwinkeligen Dreiecks mit den Hypothenusenabschnitten p und q. Wenn man nun über dieser Höhe ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.