Diskussion:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

englische bezeichnung

gudn tach!
die englische abkuerzung pdf wird haeufig auch in deutschen texten verwendet (vgl. google); aehnlich (allerdings nicht ganz so haeufig) wie ODE fuer gewoehnliche dgls. es ist deshalb sinnvoll, in einer deutschsprachigen enzyklopaedie explizit die zwar englischsprachige, aber im deutschen ebenfalls verwendete abkuerzung wenigstens zu erwaehnen. -- 141.3.74.36 16:07, 20. Jul. 2007 (CEST)

überarbeitung der einleitung

habe die einleitung komplett neu geschrieben, die alte war in meinen augen aus mehreren gründen ungeeignet:

formulierungen wie "mathematisch gesehen" oder "streng genommen" gehören nicht in einen mathematichen artikel, wenn man mathematik betreibt ist selbstverständlich, dass man es streng nimmt und erst recht mathematisch sieht.

mathematisch waren viele formulierungen nicht sauber. ein intervall um $x$ der länge $dx$ ist so ohne weiteres nicht erklärt, es verwirrt mehr, als dass es hilft.

ebenso verhält es sich mit der schreibweise $P(a<x<b$, sie ist nur eine abkürzung und muss daher erklärt werden. das argument eines wahrscheinlickeitsmaßes muss eine teilmenge von $\Omega$ sein. ich habe weiterhin versucht zu motivieren, warum man den begriff der dichte überhaupt einführt.

zu bemerken bleibt, dass der begriff der wahrscheinlichkeitsdichte vor und nach meiner änderung nur im spezialfall reeller zufallsvariablen geschieht. eine maßtheoretische veralgemeinerung wäre hier wünschenswert, ich kann das leider nicht leisten.

ein konkretes beispiel für eine dichte, vielleicht die einer exponential- oder normalverteilung wäre wünschenswert, ich versuche dies demnächst noch hinzuzufügen. --Leisefuchs 16:57, 12. Mär. 2008 (CET)

schoen, dass du den artikel ueberarbeiten willst. beachte aber bitte, dass wir nicht nur fuer mathematiker schreiben, sondern auch fuer oma. vermeide deshalb lange und vor allem verschachtelte saetze und vernachlaessige bei aller exaktheit nicht die verstaendlichkeit. ich fand z.b. das koerperhoehenbeispiel eigentlich gar nicht so schlecht zur veranschaulichung. -- seth 23:36, 12. Mär. 2008 (CET)

Wäre es auch möglich das Thema etwas "unmathematischer" also auch für Laien zu erklären? matze 15:44, 12.10.2009 (CET)

Dichtefunktionen und Lebesgue-Maß

Dichtefunktionen gibt es aber doch nicht nur bezüglich des Lebesgue-Maßes! Jede Zufallsgröße hat eine Dichte, die bis auf Nullmengen bezüglich des jweiligen Maßes eindeutig ist! (nicht signierter Beitrag von Lt-Kofi (Diskussion | Beiträge) 19:32, 30. Jun 2008 (CEST))

Das sollte man vielleicht tatsächlich erwähnen, dass es Dichten nicht nur bez. des Lebesgue-Maßes gibt (die Erklärung wird aber relativ kompliziert). Allerdings ist die Existenz einer Dichte keine Eigenschaft einer Zufallsvariablen, sondern eine Eigenschaft eines (Wahrscheinlichkeits-)Maßes (in Bezug auf ein anderes). --Mediocrity 09:18, 1. Jul. 2008 (CEST)

Ich bezog mich auch auf die Diktion im Artikel... Mal schaun, ob ich mal Zeit hab, das dazuzuschreiben (wichtig ist halt, dass es verständlich bleibt). --Lt-Kofi 20:25, 1. Jul. 2008 (CEST)

Einleitung

Ich finde die Einleitung des Artikels ganz furchtbar. Der letzte Kommentar von Benutzer:Nori, dass die Stetigkeit von Zufallsvariablen falsch definiert ist, stellt nur eines der Probleme dar. Andere Punkte:

• Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist ein Hilfsmittel, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass eine stetige Zufallsvariable zwischen zwei reellen Zahlen a und b liegt. da müsste korrekt "die Werte einer stetigen ZV" stehen (zugegeben, das ist pingelig).
• Einfache zufällige Prozesse lassen sich... Von welchen Prozessen ist denn hier die Rede?
• ...so ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn man... das ist nicht wahr (oder nur teilweise); zusätzlich muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein.
• Man kann zeigen, dass einzelne Elementarereignisse aus Ω nun keine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben. So wie das hier steht, gibt es jetzt keine Elementarereignisse mehr mit von Null verschiedener Wahrscheinlichkeit. Das ist natürlich nicht wahr; sehr wohl kann es immer noch Elementarereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit geben.
• Eine Abbildung X:\Omega \rightarrow \R wird Zufallsvariable genannt. Es fehlt das Wort "messbar", sonst ist das falsch.

Ich bin daher unbedingt für eine umfassende Änderung dieser Einleitung. (Jaja, ich weiß: "Warum machst du's nicht selbst" und so. Vielleicht will vorher ja noch wer seine Meinung äußern.).

Liebe Grüße. --Mediocrity 14:17, 24. Jul. 2008 (CEST)

Ich kann da völlig zustimmen. Ich werde es mir hier sparen, noch weitere Punkte aufzuführen. Man muss im Grunde den halben Artikel neu schreiben. Mal sehen, wer die Zeit dafür findest. ;-) --Drizzd 10:58, 26. Jul. 2008 (CEST)

Bildunterschriften

Könnte es sein, dass die unter den beiden Bildern/Grafiken stehenden Bezeichnungen vertauscht sind? (nicht signierter Beitrag von 62.180.231.196 (Diskussion) 11:48, 4. Aug. 2008)

Die Begriffe sind bei mir in derselben Reihenfolge wie die Bilder - links die Verteilungsfunktion (CDF) und rechts die Dichtefunktion (PDF). Bei Dir nicht? --Drizzd 15:32, 4. Aug. 2008 (CEST)

Belege fehlen

Hallo, ich möchte bitte einen Beleg für die folgende Aussage: "Man kann zeigen, dass einzelne Elementarereignisse aus Ω nun keine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben." Vielen Dank. Quiet photon 18:30, 1. Mär. 2010 (CET)

Hey, danke, was da steht ist falsch, gewesen (ich kann ja ohne Probleme auch ziemlich schräge Wahrscheinlichkeitsmaße konstruieren, die haben teils sogar praktische Anwendung). Ich habe den groben Fehler korrigiert, allerdings muss man aufpassen, das es der Artikel verständlich bleibt, bzw. verständlicher wird. Ich versuche das im Laufe der Woche noch zu überbearbeiten. --Beben 22:23, 2. Mär. 2010 (CET)

Vielen Dank! Allerdings finde ich die Aussage sehr interressant und als Motivation für die Dichtefunktion sehr passend, es wäre schön wenn du Bedingungen anknüpfen könntest, (Lebesgue-Maß, Existenz einer Dichtefunktion,.. ich weiß es nicht) so dass die Aussage weiterhin im Artikel stehen bleiben kann. Auch würde ich mich über eine Referenz freuen wie man das dann im etwaigen Spezialfall beweist. Wir können dazu auch gerne auf meiner Diskussionsseite diskutieren. Viele Grüße Quiet photon 10:03, 3. Mär. 2010 (CET)

Ja, also das ganze ist nicht ganz so einfach. Fakt ist, dass der Artikel bisher nur auf Lebesgue-Dichten eingeht (was aber in dem Artikel zu wenig zur Geltung kommt). Wenn man nur das Lebesgue-Dichten betrachtet, wäre der Fehler den du nanntest kein Fehler sondern, korrekt - allerdings weiß ich gerade auch nicht in welchem Buch man dazu einen Beweis findet. Aber der Artikel sollte (nicht nur meiner Meinung nach vgl. diskussion oben "Dichtefunktionen und Lebesgue-Maß") den Begriff nicht nur für Lebesgue-Maße beschreiben. Man sollte die beiden wichtigen Dichten, Zähldichte und Lebesgue-Dichte ausführlich erklären auch den Zusammenhang zum allgemeinen Maßtheoretischen Dichte-Begriff, wie er bsp. im Satz von Radon Nikodym verwendet wird. Als Quellen dienen bsp. : "Maß und Wahrscheinlichkeit" K.D.Schmidt Kap.9.2 oder auch "Wahrscheinlichkeitstheorie" A.Klenke Kap.4.1 --Beben 20:25, 3. Mär. 2010 (CET)

Abschnitt Normierung

Den Satz

Die Dichtefunktion $f(x)$ ist jedoch nur mit $f(x)\in [0:\infty [$ beschränkt. So hat eine Gleichverteilung auf $[0:0,5[$ auf diesem Intervall die Dichte $2$ (auf dem Rest $0$).

verstehe ich nicht. Davon scheint mir der Doppelpunkt als Trennungszeichen bei Intervallen ziemlich unüblich zu sein. -- Digamma 15:45, 3. Aug. 2010 (CEST)

Ich verstehe es auch nicht... --84.60.126.162 14:17, 16. Aug. 2010 (CEST)

Habe das mal ausgebessert. Der Doppelpunkt in der Intervallschreibweise diente dazu die Trennung vom Komma unterscheiden zu können. --GhostGambler 11:14, 25. Sep. 2010 (CEST)

Abschnitt "Zusammenhang von Verteilungsfunktion und Dichtefunktion"

Das gilt auch dann noch, wenn es abzählbar viele Stellen $x$ gibt, an denen $F$ stetig, aber nicht differenzierbar ist; welche Werte man an diesen Stellen für $f(x)$ verwendet, ist unerheblich.

Das verstehe ich nicht. Setzt man nur absolut stetig voraus, dann braucht die Funktion nur fast überall differenzierbar zu sein. Differenzierbare Funktionen sind hingegen per definitionem überall differenzierbar. Welchen Sinn hat es, Funktionen zu betrachten, die an abzählbar vielen Stellen nicht differenzierbar sind? -- Digamma 15:52, 3. Aug. 2010 (CEST)

Das ist eine Eigenschaft, die in der Praxis oft vorkommt (stetige Gleichverteilung, Exponentialverteilung, ...) und einfacher zu überprüfen ist als "absolutstetig" ("fast überall differenzierbar" allein genügt nicht)--RSchlicht 18:17, 11. Aug. 2010 (CEST)

Das beantwortet aber noch nicht meine Verständnisfrage. Die Formulierung "selbst dann noch" legt nahe, dass die Aussage dieses Satzes eine Verallgemeinerung des vorherigen

Wenn die Verteilungsfunktion $F$ absolut stetig ist (eine hinreichende Voraussetzung hierfür ist Differenzierbarkeit mit beschränkter Ableitung), ist ihre Ableitung eine Dichtefunktion der zugehörigen Verteilung:

sei. Es wird aber höchstens das "differenzierbar mit beschränkter Ableitung" verallgemeinert, nicht aber das "absolut stetig". Mir wird schlicht der logische Zusammenhang zwischen den beiden Voraussetzungen nicht klar. Folgt denn, dass die Ableitung beschränkt ist? Oder ist das dann nicht nötig?

Und bei den von Dir angegebenen Verteilungen ist die Verteilungsfunktion F nur an endlich vielen Stellen nicht differenzierbar. Abzählbar viele Stellen, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist, können ganz schön hässlich sein. -- Digamma 18:29, 11. Aug. 2010 (CEST)

OK, im Artikel steht es anders, als ich es in Erinnerung hatte. Die usprüngliche Formulierung war ungefähr: "Umgekehrt gilt: Wenn die Verteilungsfunktion F differenzierbar ist, ist ihre Ableitung eine Dichtefunktion der zugehörigen Verteilung ...". Absolutstetigkeit folgt dann schon, und Beschränktheit der Ableitung benötigt man nicht: Jede stetige monoton wachsende Funktion, die an allen bis auf endlich oder abzählbar vielen Stellen differenzierbar ist, ist absolutstetig.--RSchlicht 18:41, 11. Aug. 2010 (CEST)

Danke. Ich habe es mal entsprechend umformuliert. Ist es so OK? -- Digamma 19:42, 11. Aug. 2010 (CEST)

Ich denke, es ist OK. Ich habe inzwischen den Beweis der Aussage noch einmal an zwei Stellen nachgeschlagen, dort wird zusätzlich vorausgesetzt, dass entweder F stückweise differenzierbar ist (d.h. die abzählbar vielen Stellen dürfen nicht beliebig liegen) oder dass F' lokal ein endliches Integral hat. Ich muss mir das noch einmal ansehen, aber denke, dass man hier wegen F'≥0 ohne diese Voraussetzungen auskommt. Wenn nicht, werde ich den Artikel entsprechend korrigieren.--RSchlicht 22:04, 11. Aug. 2010 (CEST)

Werte größer 1

Im Artikel heißt es:

"Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann Werte größer als 1 annehmen und sollte nicht mit der Wahrscheinlichkeit selbst verwechselt werden."

Ich halte es für angebracht, im Artikel auch zu erklären, wie und weshalb das möglich ist. Zusätzlich sollte dies durch ein anschauliches Beispiel untermauert werden. --Wikilaser 14:26, 5. Nov. 2011 (CET)

Ich würde mich freuen, wenn mal jemand auf meinen Hinweis antwortet. --Wikilaser (Diskussion) 12:52, 24. Jul. 2012 (CEST)

Im Prinzip wird das im Abschnitt "3.1 Normierung und Eindeutigkeit" erklärt, mit grafischen Beispielen. --Digamma (Diskussion) 15:55, 24. Jul. 2012 (CEST)

Ich kann da kein konkretes Beispiel erkennen, das als Ergebnis einen Wahrscheinlichkeitsdichtewert größer 1 liefert. Da sind - wie in den meisten anderen mathematischen Artikeln auch - lediglich mathematische Formelzeichen, aber kein Berechnungsbeispiel mit Zahlen. --Wikilaser (Diskussion) 22:32, 5. Mai 2013 (CEST)

Ich meinte die Grafiken. --Digamma (Diskussion) 19:16, 6. Mai 2013 (CEST)

Diese Grafiken erklären sich nicht selbst, sie haben für mich überhaupt keine Aussagekraft. Wenn ich nach einem konkreten Beispiel frage, dann meine ich die Beschreibung eines konkreten Problems aus der Realität/Praxis, und zwar nicht in Form von Formelzeichen oder Grafiken, sondern in Form einer erklärenden Beschreibung. --Wikilaser (Diskussion) 01:10, 23. Jun. 2013 (CEST)

Dichte ist Wahrscheinlichkeit pro Länge (oder pro Fläche, Zeit usw. in was eben die Zufallsvariable gemessen wird). Es gibt also gar keinen Grund, warum sie kleiner als 1 sein sollte. Das ist wie bei der Dichte in der Physik (Masse pro Volumen): Was eine Dichte größer als 1 hat, geht im Wasser unter :-) Insofern finde ich den Hinweis im Artikel fast eher verwirrend als hilfreich. -- HilberTraum (Diskussion) 09:49, 23. Jun. 2013 (CEST)

Es geht nicht um den physikalischen Dichtebegriff, sondern um Wahrscheinlichkeitsdichte (Ich frage mich mittlerweile immer mehr, was das überhaupt ist.). Wahrscheinlichkeiten sind normalerweise Werte zwischen 0 und 1, im Einzelfall auch exakt 0 oder exakt 1. Aber meine Frage ist ja: Bei welchem konkreten Beispiel tritt ein Wahrscheinlichkeitsdichtewert größer 1 auf? --Wikilaser (Diskussion) 18:27, 23. Jun. 2013 (CEST)

Beispiel: Bei der stetigen Gleichverteilung auf einem Intervall der Länge L hat die Dichte den Wert 1/L. Wenn das Intervall also kürzer als eine Längeneinheit ist, dann ist die Dichte größer als 1. -- HilberTraum (Diskussion) 19:13, 23. Jun. 2013 (CEST)

Auf gut Deutsch: Wenn man mit einer Fliegenklatsche von 100cm² auf eine Fliege schlägt, die kleiner als 100cm² ist und unbeweglich dasitzt, dann trifft man sie mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte größer 1. Richtig? --Wikilaser (Diskussion) 00:42, 27. Jun. 2013 (CEST)

Titel

Sollte der Artikel nicht besser "Wahrscheinlichkeitsdichte" heißen? Dichtefunktionen gibt es auch bei anderen Verteilungen. Zum Beispiel sind in der Physik die Ladungsverteilung oder die Massenverteilung oft durch Dichtefunktionen gegeben. --Digamma (Diskussion) 22:11, 24. Jun. 2013 (CEST)

Ich habe mal geschaut, was von beiden in der Lehrbuchliteratur häufiger ist, und es scheint mir sehr ausgeglichen zu sein, viele erwähnen beide Bezeichnungen. In der "Praxis" wird wohl meist sowieso nur "Dichte" gesagt. Stimmt schon, "Wahrscheinlichkeitsdichte" klingt schon etwas eindeutiger, aber ob sich deswegen ein Verschieben lohnt (in der Wikipediavolltextsuche steht's 96 zu 97 :-)? -- HilberTraum (Diskussion) 21:34, 25. Jun. 2013 (CEST)

Mein Punkt war eher, dass der Begriff "Dichtefunktion" allgemeiner ist als "Wahrscheinlichkeitsdichte". Ich erinnere mich vage, dass ich vor einiger Zeit hier nach Dichtefunktion gesucht habe und dabei keine Wahrscheinlichkeitsdichte gemeint habe. Ich war dann überrascht über den Inhalt des Artikels. --Digamma (Diskussion) 22:20, 25. Jun. 2013 (CEST)

Wenn man im Netz nach "Dichtefunktion" sucht, kommt eigentlich nur die Wahrscheinlichkeitsdichte. Wahrscheinlich müsste es wohl sprachlich korrekt "Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion" heißen, aber das ist zu lang und ungebräuchlich. Aber wie gesagt, aus meiner Sicht spricht auch nichts gegen eine Verschiebung auf "Wahrscheinlichkeitsdichte", wenn du das leserfreundlicher findest. -- HilberTraum (Diskussion) 22:39, 25. Jun. 2013 (CEST)