Dreieckszahl

Eine Dreieckszahl beziffert die Anzahl der Kreise (oder Punkte), die nötig sind, um ein gleichseitiges Dreieck in gleichmäßigen Abständen auszufüllen.

Einleitung

Die Dreieckzahl wird häufig mit Carl Friedrich Gauß in Zusammenhang gebracht. Während seiner Schulzeit soll der Lehrer zur Beschäftigung der Klasse folgende Aufgabe gestellt haben: Jeder für sich sollte die Summe aller Zahlen von 1 bis 100 bilden. Der Lehrer nahm an, die Klasse wäre damit für eine Weile beschäftigt. Gauß hat nun angefangen zu rechnen, und hat die ersten Summen gebildet: 1 = 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6. Durch Zeichnen ist ihm die Treppenform aufgefallen.

				...
1+2	1+2+3	1+2+3+4	1+2+3+4+5	...

Durch zuammenfügen zweier gleicher Treppen bekam Gauß ein Rechteck, das folgende Form hatte: $n\cdot (n+1)$.

Da die Summe aber nur ein halbes Rechteck sein konnte, mußte er erst das Ergebnis durch zwei teilen: $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

Die Definition der Dreieckszahl

Die n-te Dreieckszahl ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen: $a_{n}=\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+...+n$. Sie läßt sich über folgende Polymomfunktion berechen, die gleichzeitig auch einem Binomialkoeffizienten entspricht: $a_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}$.

Die Folge der Dreieckszahlen beginnt: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, ... (Folge A000217 in OEIS)

Eigenschaften der Dreieckszahlen

• Bei allen Dreieckszahlen > 3 handelt es sich um zusammengesetzte Zahlen.

• Die Summe zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine Quadratzahl

Dies läßt sich auf wenigstens zweierlei Arten zeigen, nämlich auf die graphische Weise und durch Umformungen der Formel.

Die graphische Lösung:

• Wie man sehen kann, passen die beiden Dreieckszahlen wie Schlüssel und Schloß ineinander. Das alleine ist aber noch kein Beweis, das die Summe zweier beliebiger aufeinanderfolgender Dreieckszahlen immer eine Quadratzahl bilden. Eine Dreieckszahl ${\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$ läßt sich als Summe von $n\$ und der vorhergehenden Dreieckszahl ${\frac {(n-1)\cdot n}{2}}$ darstellen: . Dementsprechend gilt $2\cdot {\frac {(n-1)\cdot n}{2}}+n=(n-1)\cdot n+n=n^{2}-n+n=n^{2}$
• Durch Umformung der Summe der aufeinander folgenden Dreieckszahlen kommt man auch auf $n^{2}\$:

${\frac {(n-1)\cdot n}{2}}+{\frac {n\cdot (n+1)}{2}}={\frac {n\cdot (n-1+n+1)}{2}}={\frac {n\cdot (2n)}{2}}={\frac {2n^{2}}{2}}=n^{2}$

• Die Summe der ersten n Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der n-ten Dreieckszahl [Bsp.: 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²]
• Die Differenz der Quadrate zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine Kubikzahl.

Dies läßt sich aus der darüber gehenden Eigenschaft ableiten. Wenn das Quadrat der n.ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n Kubikzahlen gebildet wird, und das Quadrat der (n+1).ten Dreieckszahl aus der Summme der ersten n+1 Kubikzahlen gebildet wird, muß als Differenz die (n+1).te Kubikzahl herauskommen.

• Das Achtfache einer Dreieckszahl addiert mit 1 ergibt immer eine Quadratzahl:

6	10

• Jede vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl:

Nach Leonhard Euler läßt sich eine vollkommene Zahl durch die Formel $(2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}$ darstellen, wobei $2^{n}-1\$ eine Primzahl sein muß. Wenn man die Formel $(2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}$ mit 2 multiplikativ erweitert, und $2^{n}\$ durch $m\$ substituiert, kommt man auf die Formel, die Dreieckszahlen repräsentiert:

$(2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}={\frac {(2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}\cdot 2}{2}}={\frac {(2^{n}-1)\cdot 2^{n}}{2}}\Rightarrow {\frac {(m-1)\cdot m}{2}}$

• Jede Zahl lässt sich als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen ausdrücken. Diese Entdeckung stammt von Carl Friedrich Gauß. Seine vielleicht berühmteste Tagebucheintragung machte er am 10. Juli 1796. Sie lautete:

EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ

• Die Summe der Kehrwerte aller Dreieckszahlen ist 2: $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{i\cdot (i+1)}}=2$
• Damit eine Dreieckszahl eine Quadratzahl sein kann, muß für diese Zahl $a_{n}={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$ folgendes gelten: $n+1\$ muß eine ungerade Quadratzahl sein und $n\$ muß das Doppelte einer geraden Quadratzahl sein.

Überlegung: Angenommen, $n\$ sei das Doppelte einer ungeraden Quadratzahl, und $n+1\$ sei eine gerade Quadratzahl. Das führt zu einem Widerspruch, da das doppelte irgendeiner Quadratzahl, eine gerade Zahl ergibt. Eine gerade Zahl plus Eins aber muß eine ungerade Zahl ergeben, was sie nach unserer Überlegung aber nicht tut.

Also muß $n+1\$ eine ungerade Quadratzahl sein.

$n\$	$n=2\cdot a^{2}$	$n+1=b^{2}\$	${\frac {n\cdot (n+1)}{2}}=a^{2}\cdot b^{2}$	$a\cdot b$
$8\$	$2\cdot 2^{2}$	$3^{2}\$	$36=2^{2}\cdot 3^{2}$	$6=2\cdot 3$
$288\$	$2\cdot 12^{2}$	$17^{2}\$	$41616=12^{2}\cdot 17^{2}$	$204=12\cdot 17$
$9800\$	$2\cdot 70^{2}$	$99^{2}\$	$48024900=70^{2}\cdot 99^{2}$	$6930=70\cdot 99$
$332928\$	$2\cdot 408^{2}$	$577^{2}\$	$55420693056=408^{2}\cdot 577^{2}$	$235416=408\cdot 577$

• 55, 5.050, 500.500, 50.005.000, etc. sind Dreieckszahlen
• Die 1111. Dreieckszahl, 617.716, und die 111.111. Dreieckszahl, 6.172.882.716, sind palindromische Dreieckszahlen. Dies hat Charles Trigg herausgefunden. Dies gilt auch für die 11. Dreieckszahl 66 und die 11.111.111. Dreieckszahl 61.728.399.382.716, nicht aber für die 111., die 11.111. und die 1.111.111. Dreieckszahl.
• Die Glieder der Folge 3, 10, 21, 36, 55, 78, ... (eine Teilmenge der Dreieckzahlen) lassen sich über die Formel $n*(2n+1)$ bilden.
• Für die andere Hälfte: 1, 6, 15, 28, 45, 66, ... gilt die Bildungsregel $n*(2n-1)$.

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Bei den Dreieckszahlen handelt es sich um zweidimensionale Gebilde. Das Bildungsgesetz ${n+1 \choose 2}={\frac {n(n+1)}{2}}$ läßt sich auf die räumlichen Erweiterungen der Dimension $d\$ verallgemeinern: ${n+d-1 \choose d}={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot (n+(d-1))}{!d}}$

Alle Zahlen des Pascalschen Dreiecks sind Dreieckszahlen und ihre räumlichen Erweiterungen.

Beispiel

Die räumliche Erweiterung der Dreieckszahl in die dritte Dimension ist die Tetraederzahl. Eingesetzt in die Formel ${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot (n+(d-1)}{!d}}$ ergibt sich:

$a_{n}={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot (n+(3-1)}{!3}}={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{1\cdot 2\cdot 3}}={\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{6}}$

siehe auch: Tetraktys, Liste besonderer Zahlen, Rechteckzahl, Fünfeckszahl

Literatur

• John H. Conway und Richard K. Guy, The Book of Numbers, ISBN 0-387-97993-X