Jordansche Normalform

Die Jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer Matrix (linearen Abbildung) ähnlichen Matrizen (linearen Abbildungen). Einzige Voraussetzung ist, dass das charakteristische Polynom der Matrix (linearen Abbildung) vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Benannt wurde die Jordansche Normalform nach Marie Ennemond Camille Jordan.

Die Jordansche Normalform zu einer quadratischen Matrix $A$ ist eine Matrix $J$ in der folgenden Blockdiagonalform

$J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=Q^{-1}AQ$

Die Matrix Q ist die Matrix der Eigenvektoren und Hauptvektoren, d.h. die Eigenvektoren und dazugehörige Hauptvektoren werden spaltenweise als Matrix geschrieben, Q^-1 ist die inverse Matrix von Q.

Die J_i sind die Jordan-Blöcke. Diese haben folgende Form:

$J_{i}={\begin{pmatrix}\lambda _{i}&1&&&0\\&\lambda _{i}&1&&\\&&\ddots {}&\ddots {}\\&&&\lambda _{i}&1\\0&&&&\lambda _{i}\end{pmatrix}}$

Die λ_i sind dabei die Eigenwerte von A. Zu jedem Eigenwert λ_i gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordan-Blöcke. (Die geometrische Vielfachheit ist dabei bestimmt durch die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem(!) Eigenwert λ.) Die Gesamtdimension aller Jordan-Blöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d.h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom.

In einem Jordanblock sind die sogenannten Jordanketten "gespeichert" (siehe Hauptvektor). Besteht $A$ z.B. nur aus einem Jordanblock mit Eigenwert $\lambda$ und bezeichne $e_{j}$ den $j$-ten Einheitsvektor, dann sieht man leicht, dass $(A-\lambda )e_{1}=0$ und $(A-\lambda )e_{j+1}=e_{j}$ für $j=1,\dots ,n-1$ gilt.

Zur Form von Q

Seien ${\vec {e}}_{i}$ die Eigenvektoren zu den Jordankästchen $J_{i}$ (Jedem Jordankästchen entspricht genau ein Eigenvektor) und ${\vec {h}}_{i,2}\dots {}{\vec {h}}_{i,l}\dots {}{\vec {h}}_{i,n_{j}}$ die Hauptvektoren der jeweils l-ten Stufe, wobei n_j die Dimension des j-ten Jordankästchens ist.

Die Matrix Q hat dann die Form:

$Q={\vec {e}}_{1},{\vec {h}}_{1,2},\dots {},{\vec {h}}_{1,n_{1}},\dots {},{\vec {e}}_{k},{\vec {h}}_{k,2},\dots {},{\vec {h}}_{k,n_{k}}$

wobei k die Anzahl der Jordankästchen war.

In Worten: Die Spalten von Q sind die Eigenvektoren mit den dazugehörigen Hauptvektoren in der Reihenfolge der dazugehörigen Jordankästchen.

Reelle Jordansche Normalform

Betrachtet man Matrizen über den reellen Zahlen R, so kann es passieren, dass das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt (also komplexe Nullstellen besitzt). Da man in diesem Fall die normale Jordansche Normalform nicht verwenden kann (sie hätte Einträge aus C), führt man die reelle Jordanform ein.

Sei $\lambda _{j}=a_{j}+b_{j}i$ Eigenwert dann ist auch

${\bar {\lambda }}_{j}=a_{j}-b_{j}i$ Eigenwert

wobei $i^{2}=-1$

Die J_j Jordan-Blöcke haben jetzt folgende Form:

$J_{j}={\begin{pmatrix}a_{j}&b_{j}&1&&&&&0\\-b_{j}&a_{j}&0&1&&&&\\&&a_{j}&b_{j}&1&&&\\&&-b_{j}&a_{j}&0&1&&\\&&&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&\\&&&&\ddots {}&\ddots {}&0&1\\&&&&&\ddots {}&a_{j}&b_{j}\\0&&&&&&-b_{j}&a_{j}\\\end{pmatrix}}$

für die Matrix J gilt immer noch:

$J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots {}&\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=Q^{-1}AQ$

Allerdings für ein anderes Q

Systeme linearer Differentialgleichungen

Die JNF ist eng verknüpft mit linearen Differentialgleichungen y'(x)=Ay(x) in einer Dimension n, d.h. A ist eine n×n-Matrix mit konstanten reellen oder komplexen Komponenten. Diese hat die formale Lösung durch Potenzreihenansatz

$y(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}x^{k}}{k!}}y_{0}=y_{0}+x\cdot Ay_{0}+{\frac {x^{2}}{2}}\cdot A^{2}y_{0}+\dots$

mit Anfangswert y(0)=y₀.

Gilt nun für irgendeinen Exponenten m die Gleichung $A^{m}y_{0}=0$, so bricht die Potenzreihe ab, das System hat eine polynomiale Lösung vom Grad kleiner m. Man kann jetzt die Kerne der Matrixpotenzen bestimmen, für diese gilt $\ker A\subset \ker A^{2}\subset \dots \subset \ker A^{n}$. Bestimmt man nun eine zu dieser Schachtelfolge von Unterräumen angepasste Basis von $\ker A^{n}$, so erhält man die Jordan-Blöcke zum Eigenwert λ=0. Ist zum Beispiel A^m+1v=0, aber A^mv von Null verschieden, so sind $v,Av,\dots ,A^{m}v$ linear unabhängig und der Schachtelfolge angepasst.

Für den allgemeinen Fall macht man den Ansatz $y(x)=\exp(\lambda x)u(x)$, es ergibt sich für u die Differentialgleichung $u'=(A-\lambda I)u$. Damit der maximale Kern $\ker(A-\lambda I)^{n}$ nichttrivial ist, muss λ Eigenwert, d.h. Nullstelle des charakteristischen Polynoms det(A-λI), von A sein. Die Kerne unterschiedlicher Eigenwerte sind transversal zueinander, so dass eine gemeinsame, den jeweiligen Kernen angepasste Basis des gesamten n-dimansionalen Raumes gefunden werden kann. Für jedes Basiselement ergibt sich eine Lösung $y(x)=exp(\lambda x)u(x)$ mit polynomialem u, und jede Lösung kann aus diesen zusammengesetzt werden (Superpositionsprinzip). Nach geeignetem Sortieren der angepassten Basis und Transformation von A in diese Basis ergibt sich die Jordan-Normalform.

Siehe auch:

Diagonalmatrix