Quadratische Ergänzung
Die Quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Lösen von Quadratischen Gleichungen.
Idee dieses Verfahrens ist, die Gleichung zunächst in ihre Normalform zu überführen, und diese dann zu lösen, indem das in ihr enthaltene quadratische Binom gesucht wird. Hierbei sind die allgemeinen Regeln zum Lösen von Gleichungen zu beachten.
Beispiel
Die Gleichung 2·x² - 6·x + 1 = 9 wird zunächst durch Subtraktion von 9 und Division durch 2 überführt in x² - 3·x - 4 = 0. Das ist die Normalform. Und so geht es weiter:
| x² - 3·x - 4 | = 0 | | + 4 | |
| x² - 3·x | = 4 | | + (3/2)² | Das Quadrat der Hälfte des Betrags des absoluten Gliedes addieren. |
| x² - 3·x + 2,25 | = 6,25 | | | Ausklammern. |
| (x - 1,5)² | = 2,5² | | | Wurzel ziehen. |
| x - 1,5 | = ±2,5 | | + 1,5 | (+2,5 und -2,5 ergeben jeweils quadriert +6,25). |
Es ergeben sich die beiden Lösungen x1 = +1,5 + 2,5 = +4 und x2 = +1,5 - 2,5 = -1.
verallgemeinerte Lösung
Statt obige Schritte für jede neue Aufgabe neu zu rechnen, kann sie einmal formal gerechnet werden. So ergibt sich eine Formel (Schüler nennen sie pq-Formel), in die dann jeweils nur die neuen Zahlen eingesetzt werden müssen.
Aus der Gleichung x² + p·x + q = 0 folgt mit denselben Umformungen wie oben x1 = -(p/2) + √((p/2)²-q) und x2 = -(p/2) - √((p/2)²-q):
| x² + p·x + q | = 0 | | - q | |
| x² + p·x | = -q | | + (p/2)² | Das Quadrat der Hälfte des Betrags des absoluten Gliedes addieren. |
| x² + p·x + (p/2)² | = (p/2)² - q | | | Ausklammern. |
| (x + p/2)² | = (p/2)² - q | | | Wurzel ziehen. |
| x + p/2 | = ±√((p/2)²-q) | | - p/2 |
==>x1 = -(p/2) + √((p/2)²-q) und x2 = -(p/2) - √((p/2)²-q)
Wird gemäß dem obigen Beispiel p = -3 und q = 4 angenommen, ergeben sich dieselben Lösungen wie oben.