Satz von Bolzano-Weierstraß
Der Satz von Bolzano-Weiserstraß ist ein Satz der Analysis. Er lautet:
- Jede beschränkte reelle Zahlenfolge enthält mindestens eine konvergente Teilfolge.
Eine reelle Zahlenfolge (an) heißt beschränkt, wenn es eine positive reelle Zahl L gibt, so dass für jedes n der Betrag |an| kleiner ist als L. Eine Teilfolge entsteht, indem man Folgeglieder überspringt; es können endlich oder unendlich viele weggelassen werden, es müssen in der Teilfolge aber noch unendlich viele Glieder übrig bleiben.
Der Satz ist benannt nach den Mathematikern Bernard Bolzano und Karl Weierstraß.
Hier folgt eine Beweisskizze des Satzes, die Idee wird von Mathematikern scherzhaft "Löwenjagd durch Halbierung der Wüste" genannt:
- Beginne mit dem Intervall I = [-L, L], das alle Folgeglieder enthält. Wähle a1 als erstes Glied der zu bestimmenden Teilfolge.
- Halbiere das Intervall; mindestens eine Hälfte muss unendlich viele Folgeglieder enthalten, diese Hälfte werde nun mit I bezeichnet. Wähle als nächstes Glied der Teilfolge das erste Element an, das in I liegt und dessen Index größer ist als der des zuvor gewählten Elements.
- Fahre mit dem vorigen Punkt unendlich lange fort. Das betrachtete Intervall wird dabei immer kleiner, so dass die Teilfolge gegen den einzigen Punkt konvergiert, der in allen Intervallen liegt. (Dieser existiert aufgrund des Intervallschachtelungsaxioms der reellen Zahlen.)