Affine Abbildung
Dieser Artikel ist noch unaufgeräumt. Er ist entstanden durch Zusammenlegen der Artikel affine Abbildung und affine Transformation: zwischen diesen Begriffen wird in der Praxis kaum je unterschieden.
Eine affine Abbildung oder affine Transformation ist eine Abbildung zwischen affinen Räumen. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass sie Kollinearität und Verhältnisse von Abständen erhält. Erhaltung der Kollinearität bedeutet, dass die Bilder von Punkten, die auf einer Geraden liegen (d.h. kollinear sind) wieder auf einer Geraden liegen. Wenn die Abbildung bijektiv (eineindeutig) ist, heißt sie Affinität. Mitunter wird die Eineindeutigkeit auch schon in der Definition der affinen Abbildung gefordert. Eine Affinität heißt Bewegung, wenn sie Abstände von Punkten erhält.
Eine affine Abbildung setzt sich zusammen aus einer linearen Abbildung und einer Translation (Verschiebung). Zum Beispiel setzt sich eine dreidimensionale Affinität zusammen aus einer Skalierung, einer Rotation und einer Translation.
Affine Abbildungen kommen z.B. in der Kartographie und der Bildbearbeitung zur Anwendung.
Eine affine Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die sich aus einer linearen Transformation und einer Translation zusammensetzt. Schreibt man die lineare Transformation als Matrix-Vektor-Produkt, so ergibt sich die affine Transformation f aus der Matrix A und dem Verschiebungsvektor t:
Die affinen Abbildungen umfassen alle linearen Abbildungen (mit t=0) und ergänzen diese (z.B. Rotation, Skalierung, Scherung) um die Translationen.
Siehe Auch: Affine Koordinaten, Koordinatensystem, Funktionaldeterminante, Affiner Raum, Affine Geometrie