Benutzer:Schojoha/Spielwiese

Binormaler topologischer Raum

Ein topologischer Raum ist ein binormaler, wenn sein topologisches Produkt mit dem reellen Einheitsintervall $I=[0,1]=\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\leq 1\}$ ein normaler Raum ist.

Es gilt: Ein topologischer Raum ist genau dann ein Binormaler topologischer Raum, wenn er die Eigenschaft hat, abzählbar parakompakt zu sein.

Literatur

• Dugundji
• Harzheim
• Naber
• Willard

Weg (Mathematik)

Der Endpunkt

• bezeichnet in der Mathematik einen von zwei ausgezeichneten Punkten eines stetigen Weges. Durch den stetigen Weg werden der Anfangspunkt und der Endpunkt verbunden. Der Anfangspunkt ist der Endpunkt des umgekehrt durchlaufenen Weges.

Umgekehrter oder inverser Weg

Ist $f:\ I\longrightarrow X$ eine ein Weg in $X$, so wird der umgekehrte Weg oder inverse Weg $f^{-}:\ I\longrightarrow X$definiert durch folgende Regel:

Hauptsatz der kombinatorischen Topologie

Der Hauptsatz der kombinatorischen Topologie besagt folgendes:

Zwei Triangulationen desselben Polyeders haben stets isomorphe Homologiegruppen

Literatur

• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X.  MR0533264

• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 

Pontrjagin, Lev S. Normierter Titel Osnovy kombinatornoj topologii <dt.> Titel Grundzüge der kombinatorischen Topologie Verfasser/Urheber von L. S. Pontrjagin Ort Berlin Verlag Dt. Verl. d. Wiss. Jahr 1956 Umfang 133 S. 1.Gesamttitel Hochschulbücher für Mathematik ; 29 Sonstige Hinweise Aus d. Russ. übers. Inhaltsverzeichnis [Titel: Grundzüge der kombinatorischen Topologie, Dateinamenerweiterung: txt, Objektgr.: 1 KB, Zuletzt aktualisiert: 28/02/2011] Grundzüge der kombinatorischen Topologie

Allgemeines Distributivgesetz der Mengenlehre

Unter Voaraussetzung des Auswahlaxioms gilt für Mengen $X,I,J_{i}(i\in I),A_{ij}\subseteq X(i\in I,j\in J_{i})$ und bei Setzung von $\bigcap _{{ij}\in \emptyset }A_{ij}=X$:

$\bigcap _{i\in I}{\bigcup _{j\in J_{i}}A_{ij}}=\bigcup _{f\in \prod _{i\in I}J_{i}}{\bigcap _{i\in I}{A_{if(i)}}}$

$\bigcup _{i\in I}{\bigcap _{j\in J_{i}}A_{ij}}=\bigcap _{f\in \prod _{i\in I}J_{i}}{\bigcup _{i\in I}{A_{if(i)}}}$

$\prod _{i\in I}{\bigcup _{j\in J_{i}}A_{ij}}=\bigcup _{f\in \prod _{i\in I}J_{i}}{\prod _{i\in I}{A_{if(i)}}}$.

Literatur

• Set Theory. An Introduction. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Boston [u.a.] 1995, ISBN 0-8176-3697-8. 

Folgerung der Heronschen Formel aus dem Schenkeltransversalensatz

Wie Heinrich Dörrie zeigt, hat der Schenkeltransversalensatz eine Anzahl von interessanten Folgerungen. So impliziert er beispielweise die berühmte Formel von Heron. Diese Herleitung lässt sich wiedergeben wie folgt:

Schritt I

In einem gegebenen Dreieck $\triangle ABC$, von dem man oBdA annehmen kann, dass für die Seitenlängen $a=|BC|$, $b=|CB|$ und $c=|AB|$ die Ungleichungen $b\leq a\leq c$ gelten, spiegelt man den Eckpunkt $B$ an der Höhe von $C$ auf die Seite $AB$ und erhält den Spiegelpunkt $B^{'}$. (Dabei ist für den Fall, dass $\triangle ABC$ gleichschenklig ist, $A=B^{'}$. )

Mit der Setzung:

$x=|AB^{'}|$.

folgt wegen der nach Konstruktion gegebenen Gleichschenkligkeit von $\triangle B^{'}BC$ zunächst :

${\tfrac {c+x}{2}}=|B^{'}B|$

Wegen:

$a=|CB^{'}|$

ergibt sich dann gemäß der 2. Variante des Schenkeltransversalensatzes, angewandt auf $\triangle B^{'}BC$:

$b^{2}=a^{2}-xc$

und daraus sofort:

$xc=a^{2}-b^{2}$

Schritt II

Wiederum gemäß der 2. Variante des Schenkeltransversalensatzes (oder auch nach dem Satz des Pythagoras, welcher ja wie erwähnt als Folge des Schenkeltransversalensatzes betrachtet werden kann) und wenn wie üblich die Länge der Höhe von $C$ auf die Seite $AB$ mit $h$ bezeichnet wird, ergibt sich dann weiter:

$h^{2}=a^{2}-{\tfrac {c+x}{2}}\cdot {\tfrac {c+x}{2}}=a^{2}-{\tfrac {(c+x)^{2}}{4}}$

und dann:

$4h^{2}=4a^{2}-(c+x)^{2}=(2a+(c+x))\cdot (2a-(c+x))=(2a+c+x)\cdot (2a-c-x)$

Für den Flächeninhalt $F_{ABC}={\tfrac {h\cdot c}{2}}$ ergibt sich damit:

$16{F_{ABC}}^{2}=4h^{2}c^{2}=(2ac+c^{2}+xc)\cdot (2ac-c^{2}-xc)$

Schritt III

Schritt I und Schritt II zusammen führen auf die Gleichung:

$16{F_{ABC}}^{2}=(2ac+c^{2}+a^{2}-b^{2})^{(}2ac-c^{2}-a^{2}+b^{2})=((a+c)^{2}-b^{2})\cdot (b^{2}-(a-c)^{2})=(a+c+b)\cdot (a+c-b)\cdot (b+a-c)\cdot (b-a+c)$

Mit der üblichen Setzung:

$s={\tfrac {a+b+c}{2}}$

und nach Vertauschung der Klammern hat man dann:

$16{F_{ABC}}^{2}=2s\cdot (2s-2a)\cdot (2s-2b)\cdot (2s-2c)$

und weiter:

${F_{ABC}}^{2}=s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)$

und schließlich:

${F_{ABC}}={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}$

Literatur

• Heinrich Dörrie: Der Schenkel-Transversalensatz, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 53, 1922, S. 8–14 (Jahrbuch-Rezension)

Satz von Kurosch-Ore / in Arbeit

.... In modularen Verbänden Eindeutigkeit der Darstellung der 1 (=MAXIMUM) als Vereinigung vereinigungsirreduzibler Elemente inkl. Austauscheigenschaft)....

.... nach Kurosch und Oystein Ore

Verwandt: Duales Theorem vom Emmy Noether.

Literatur

Originalarbeiten

...

Monographien

• Paul Moritz Cohn: Universal Algebra (= Mathematics and Its Applications. Band 6). Überarbeitete Auflage. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland [u.a.] 1982, ISBN 90-277-1213-1. 

Satz von Schmidt über algebraische Hüllensysteme

Formulierung des Satzes

Der Satz von Schmidt über algebraische Hüllensysteme ist ein Lehrsatz aus dem Gebiet der Universelle Algebra, welcher auf den deutschen Mathematiker Jürgen Schmidt (1918 - 1980) zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Umständen ein Hüllensystem algebraisch ist, und formuliert unter Voraussetzung des Auswahlaxioms eine gleichwertige Bedingung.

Klärung der Begriffe

Zusammenhang Hüllensystem - Hüllenoperator

Für ein Hüllensystem   ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$   über einer Grundmenge   $S$   ist der zugehörige Hüllenoperator   $C_{\mathcal {H}}$   auf   ${\mathcal {P}}(S)$   gegeben durch :

$C_{\mathcal {H}}(A)=\bigcap \{H\in {\mathcal {H}}|H\supseteq A\}$   ($A\subseteq S$).

Algebraizität

Das Hüllensystem   ${\mathcal {H}}$   und der Hüllenoperator   $C_{\mathcal {H}}$   werden algebraisch genannt, wenn folgende Endlichkeitsbedingung erfüllt ist:

Ist   $A\subseteq S$   und   $x\in C_{\mathcal {H}}(A)$  , so existiert schon eine endliche Teilmenge   $F\subseteq A$   derart, dass   $x\in C_{\mathcal {H}}(F)$   .

Das bedeutet:

Es ist stets

$C_{\mathcal {H}}(A)=\bigcup \{C_{\mathcal {H}}(F):F\subseteq A\land |F|<\infty \}$   ($A\subseteq S$).

Alternative Charakterisierung über gerichtete Systeme

Die Algebraizität eines Hüllensystems lässt sich gleichwertig auch wie folgt charakerisieren:

Das Hüllensystems   ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$   ist algebraisch dann und nur dann, wenn für jedes nichtleere, bzgl. der die Inklusionsrelation $\subseteq$ nach oben gerichtete Teilsystem   ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {H}}$   die Vereinigungsmenge   $\bigcup {G}$   stets zu   ${\mathcal {H}}$   gehört.

Induktivität

Ein nichtleeres Teilsystem   ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$  der Potenzmenge   ${\mathcal {P}}(S)$  wird induktiv genannt, wenn folgendes erfüllt ist:

Für jedes durch die Inklusionsrelation $\subseteq$ linear geordnete Teilsystem   ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {T}}$   gehört die Vereinigungsmenge   $\bigcup {K}$   zu   ${\mathcal {T}}$  .

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

(1) Ein algebraisches Hüllensystem   ${\mathcal {H}}$   ist stets induktiv.

(2) Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms gilt sogar, dass ein Hüllensystem   ${\mathcal {H}}$   dann und nur dann algebraisch ist , wenn es induktiv ist.

Beweisskize nach Schmidt

Der Teil 1 des Satzes ist wegen alternativen Charakterisierung der Algebraizität unmittelbar einsichtig, da jedes durch die Inklusionsrelation linear geordnete Mengensystem stets auch nach oben gerichtet ist.

Zum Beweis von Teil 2 des Satzes ist zu zeigen, dass bei Voraussetzung des Auswahlaxioms auch die Umkehrung von Teil 1 Bestand hat. Dazu geht Jürgen Schmidt von dem folgende Hilfssatz 1 aus (zu dessen Beweis man das Auswahlaxiom benötigt):

Jede unendliche Menge $A$ ist darstellbar als Vereinigungsmenge eines durch die Inklusionsrelation $\subseteq$ linear geordneten Mengensystems von Teilmengen $A^{*}\subseteq A$ derart , dass deren Mächtigkeiten $|A^{*}|$ stets echt kleiner sind als die Mächtigkeit $|A|$ .

Nun ist für ein Teilsystem   ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$  stets folgende Identität richtig:

$C_{\mathcal {H}}(\bigcup _{T\in {\mathcal {T}}}C_{\mathcal {H}}(T))=C_{\mathcal {H}}(\bigcup _{T\in {\mathcal {T}}}T)$  

Wird nun Induktivität vorausgesetzt und ist   ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$  ein durch die Inklusionsrelation $\subseteq$ linear geordnete Teilsystem   von  ${\mathcal {P}}(S)$  , so gilt sogar:

$\bigcup _{K\in {\mathcal {K}}}C_{\mathcal {H}}(K)=C_{\mathcal {H}}(\bigcup _{K\in {\mathcal {K}}}K)$  

Ist nun also ein unendliches $A\subseteq S$ und ein   $x\in C_{\mathcal {H}}(A)$ gegeben, so ergibt sich in Verbindung mit Hilffsatz 1 dann sogleich der folgende Hilfssatz 2:

Für unendliches $A\subseteq S$ und   $x\in C_{\mathcal {H}}(A)$   existiert stets eine Teilmenge $A^{*}\subseteq A$ so, dass deren Mächtigkeit   $|A^{*}|$   echt kleiner als   $|A|$   und   $x\in C_{\mathcal {H}}(A^{*})$   ist.

Indem man Hilfssatz 2 iteriert anwendet - in der Durchführung kommt wieder das Auswahlaxiom zum Einsatz - und beachtet, dass jede echt fallende Folge von Mächtigkeiten nach endlich vielen Schritten abbricht, erhält man:

Ist   $A\subseteq S$   und   $x\in C_{\mathcal {H}}(A)$  , so existiert schon eine endliche Teilmenge   $F\subseteq A$   derart, dass   $x\in C_{\mathcal {H}}(F)$   .

Also impliziert die Induktivität die Algebraizität, sofern dass Auswahlaxiom als gegeben vorausgesetzt werden kann.

Literatur

Originalarbeiten

• Jürgen Schmidt: Über die Rolle der transfiniten Schlussweisen in einer allgemeinen Idealtheorie. In: Math. Nachr. Band 7, 1952, S. 165–182.  MR0047628
• Jürgen Schmidt: Einige grundlegende Begriffe und Sätze aus der Theorie der Hüllenoperatoren. In: Bericht über die Mathematiker-Tagung in Berlin, Januar 1953. Band 75. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, S. 21–48. 

Monographien

• Paul Moritz Cohn: Universal Algebra (= Mathematics and Its Applications. Band 6). Überarbeitete Auflage. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland [u.a.] 1982, ISBN 90-277-1213-1. 
• Th. Ihringer: Allgemeine Algebra (= Teubner Studienbuch). Teubner Verlag, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02083-1. 

Ableitung der Heisenbergschen Unbstimmtheitsrelation nach v. Neumann

Ausgangspunkt der Betrachtung ist die Kommutatorgleichung:

$[A,B]=a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$

Dabei werden als gegeben angenommen:

• Ein Hilbertraum   ${\mathcal {H}}$  
• versehen mit dem Skalarprodukt   $<\cdot ,\cdot >$   und der dazu gehörigen Norm   $\|\cdot \|={(<\cdot ,\cdot >)}^{\frac {1}{2}}$  
• und mit   $\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$   als Identitätsoperator auf   ${\mathcal {H}}$  
• und schließlich mit zwei selbstadjungierten linearen Operatoren   $A$   und   $B$   auf   ${\mathcal {H}}$  .

Davon ausgehend lassen sich für Skalare   $a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$   und   $r,s\in \mathbb {C}$   sowie für   $\psi \in {\mathcal {H}}$   die folgenden Rechenschritte durchführen:

Schritt 1

Es ist:

$\operatorname {Im} {<A\psi ,B\psi >}={\frac {<A\psi ,B\psi >-<B\psi ,A\psi >}{2\mathrm {i} }}$

Also gilt:

$2\cdot \operatorname {Im} {<A\psi ,B\psi >}=-\mathrm {i} \cdot (<BA\psi ,\psi >-<AB\psi ,\psi >)=-\mathrm {i} \cdot <BA\psi -AB\psi ,\psi >$ $=\mathrm {i} \cdot <(BA-AB)\psi ,\psi >=\mathrm {i} \cdot <[A,B]\psi ,\psi >=\mathrm {i} \cdot <a\mathbf {1} _{\mathcal {H}}\psi ,\psi >$ $=\mathrm {i} \cdot a\cdot <\psi ,\psi >$ $=\mathrm {i} \cdot a\cdot {\|\psi \|}^{2}$

Das bedeutet:

${\|\psi \|}^{2}=-{\frac {2\mathrm {i} }{|a|}}\cdot \operatorname {Im} {<A\psi ,B\psi >}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot |<A\psi ,B\psi >|$

Also mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|A\psi \|\cdot \|B\psi \|$

Schritt 2

Es gilt die Kommutatorgleichung in gleicher Weise auch für   $A_{r}=A-r\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$   und   $B_{s}=B-s\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$  , wie man leicht nachrechnet.

Folglich hat man stets:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{|a|}}\cdot \|A_{r}\psi \|\cdot \|B_{s}\psi \|={\frac {2}{|a|}}\cdot \|A\psi -r\psi \|\cdot \|B\psi -s\psi \|$

Also gilt insbesondere für alle   $\psi =1$  :

$\|A\psi -r\psi \|\cdot \|B\psi -s\psi \|\geq {\frac {|a|}{2}}\cdot$

Schritt 3

Nun setzt man   $r=<A\psi ,\psi >$   und   $s=<B\psi ,\psi >$   und erhält daraus für   $\psi =1$   stets:

$\|A\psi -<A\psi ,\psi >\psi \|\cdot \|B\psi -<B\psi ,\psi >\psi \|\geq {\frac {|a|}{2}}\cdot$

Schritt 4

Für den quantenmechanischen Fall   $a={\frac {h}{2\pi \mathrm {i} }}$   gewinnt man nun sofort die die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelationrelation:

$\|A\psi -<A\psi ,\psi >\psi \|\cdot \|B\psi -<B\psi ,\psi >\psi \|\geq {\frac {h}{4\pi }}\cdot$

Literatur

• Johann v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1932. Kapitel III "Die quantenmechanische Statistik". Abschnitt 4 "Unbestimmheitsrelationen" (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 38). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1968, ISBN 3-540-04133-8.  MR0223138
• Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen. Teil 1: Grundlagen (= Mathematische Leitfäden). Teubner Verlag, Stuttgart [u. a.] 2000, ISBN 3-519-02236-2.  MR1887367

Einzelnachweise

AAA references ZZZ

Satz von Wintner-Wielandt

Der Satz von Wintner-Wielandt ist ein Lehrsatz aus der Theorie der linearen Operatoren, einem Teilgebiet der Funktionalanalysis, das enge Verbindungen zur theoretischen Physik aufweist. Er geht in seiner ursprünglichen Fassung zurück auf Aurel Wintner (1903–1958) und Helmut Wielandt (1910–2001) und gibt Aufschluss über die Frage, inwieweit die quantenmechanischen Grundoperatoren, welche mit der heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation verknüpft sind, als beschränkte Operatoren existieren.

Im Zusammenhang mit dem Satz von Wintner-Wielandt entstand eine Reihe von weitergehenden Untersuchungen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Gegeben sei ein normierter Vektorraum $X$ und dazu die normierte Algebra der beschränkten linearen Operatoren $L(X)$ von $X$, versehen mit der Operatornorm $\|\cdot \|$. Der Identitätsoperator von $X$ werde mit $\mathbf {1} _{X}$ bezeichnet.

Für zwei lineare Operatoren $P$ und $Q$ auf $X$ und einen (reellen oder komplexen) Skalar $a$ sei unter (H) die folgende Gleichung (heisenbergsche Vertauschungsrelation) verstanden:

(H)   $[P,Q]=a\mathbf {1} _{X}$

Dann gilt:

Die Gleichung (H) ist dann und nur dann erfüllbar, wenn $a=0$ ist, also genau dann, wenn $P$ und $Q$ miteinander vertauschbar sind.

Beweis

Wintner hat einen Beweis mit Hilfe der Spektraltheorie geliefert.

Einen anderen und allgemeineren, dabei leichter zugänglichen Beweis gab Wielandt. Der Beweis von Wielandt lässt sich wie folgt darstellen:

I: Ausdehnung der heisenbergschen Vertauschungsrelation

Wegen $[P,Q]=PQ-QP$ lässt sich die heisenbergsche Vertauschungsrelation für jedes   $n\in \mathbb {N}$   auf die folgende Identität ausweiten:

(H1)   $PQ^{n}-Q^{n}P=naQ^{n-1}$

Dies ergibt sich mittels vollständiger Induktion:

Induktionsanfang

Den Induktionsanfang für   $n=1$   liefert (H) selbst.

Induktionsschritt: n → n+1

$PQ^{n+1}-Q^{n+1}P=(PQ^{n}-Q^{n}P)Q+Q^{n}(PQ-QP)$  

Mit der Induktionsvoraussetzung ergibt sich mittels Einsetzen weiter:

$PQ^{n+1}-Q^{n+1}P=(naQ^{n-1})Q+Q^{n}(a\mathbf {1} _{X})=naQ^{n}+aQ^{n}$  

Somit folgt:

$PQ^{n+1}-Q^{n+1}P=(n+1)aQ^{n}$  

II: Eigentlicher Widerspruchsbeweis

Nun wird als Widerspruchsannahme   $a\neq 0$   als gegeben angesehen.

Dann folgt zunächst mit (H), dass   $Q$   nicht der Nulloperator sein kann, und wegen (H1) gilt dies dann für jedes   $Q^{n}$   und jedes   $Q^{n-1}$   in gleicher Weise .

Andererseits erhält man aus (H1) für jedes   $n\in \mathbb {N}$   die folgende Abschätzung:

  $n\cdot |a|\cdot \|Q^{n-1}\|=\|PQ^{n}-Q^{n}P\|=\|PQ^{n}+(-1)Q^{n}P\|\leq \|P\|\cdot \|Q^{n}\|+\|Q^{n}\|\cdot \|P\|=2\cdot \|P\|\cdot \|Q^{n}\|$

Also weiter:

  $n\cdot |a|\cdot \|Q^{n-1}\|\leq 2\cdot \|P\|\cdot \|Q^{n-1}Q\|$

Also schließlich:

  $n\cdot |a|\cdot \|Q^{n-1}\|\leq 2\cdot \|P\|\cdot \|Q^{n-1}\|\cdot \|Q\|$

Nun kann man durch   $|a|\cdot \|Q^{n-1}\|$   teilen und erhält für jedes   $n\in \mathbb {N}$   :

(H2)   $n\leq {\tfrac {2\cdot \|P\|\cdot \|Q\|}{|a|}}$

Mit (H2) gelangt man wie gewünscht zu einem Widerspruch, denn die Menge der natürlichen Zahlen   $\mathbb {N}$   hat innerhalb der reellen Zahlen keine obere Schranke.

III: Abschluss

Es muss demnach   $a=0$   gelten. Dies aber besagt, dass   $[P,Q]$   der Nulloperator ist, was gleichbedeutend mit   $PQ=QP$   ist.

Zusammenhang mit den quantenmechanischen Grundoperatoren

Der Satz von Wintner-Wielandt impliziert, dass die quantenmechanischen Grundoperatoren nicht sämtlich beschränkt sein können. Hierbei ist nachgewiesen, dass im Falle der Gültigkeit von (H) der Skalar stets rein imaginär, also ohne Realteil sein muss , wobei Voraussetzung ist, dass (H) überhaupt sinnvoll ist.

Verallgemeinerung

Wie der Beweis zeigt, ist die Aussage des Satzes von Wintner-Wielandt in gleicher Weise für jede normierte Algebra mit Einselement gültig.

Literatur

Originalarbeiten

• Arlen Brown and Carl Pearcy: Structure theorem for commutators of operators. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 70, 1964, S. 779–780.  [1] MR0167847
• Paul R. Halmos: Commutators of operators. In: Amer. J. Math. Band 74, 1952, S. 237–240.  [2] MR0045310
• Helmut Wielandt: Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik. In: Math. Ann. Band 121, 1949–1950, S. 21.  MR0030701
• Aurel Wintner: The unboundedness of quantum-mechanical matrices. In: Physical Rev. Band 71, 1947, S. 738–739.  MR0020724

Monographien

• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1968, ISBN 3-540-04135-4.  MR0165651
• Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book (= Graduate Texts in Mathematics. Band 19). Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1982, ISBN 3-540-90090-X.  MR0675952
• Johann v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1932 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 38). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1968, ISBN 3-540-04133-8.  MR0223138
• Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen. Teil 1: Grundlagen (= Mathematische Leitfäden). Teubner Verlag, Stuttgart [u. a.] 2000, ISBN 3-519-02236-2.  MR1887367

Weblinks

• Kap. 5 des Skripts zur Vorlesung Mathematische Methoden der Quantenmechanik (SS 2001), TU München

Fußnoten und Einzelnachweise

XXX references / YYY

AA Kategorie:Funktionalanalysis BB AA Kategorie:Satz (Mathematik)|Wintner-Wielandt, Satz von BB

Ungleichung von Beppo Levi

....

Literatur

• Mark A. Najmark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4. 

Ungleichung von Erdös-Mordell-Barrow

....

Literatur

....

Satz von Blaschke über konvexe Figuren der Ebene / in Arbeit

Der Satz von Blaschke über konvexe Figuren der Ebene ist ein mathematischer Satz der Konvexgeometrie, welcher auf den Geometer Wilhelm Blaschke zurückgeht. (Er wurde von dem in dessen Schrift Kreis und Kugel im Jahre 1916 vorgestellt ???)

Formulierung des Satzes

Breite <= 3 x Inkreisradius

Verwandte Resultate

Satz von Jung

Literatur

• P. S. Alexandroff et al.: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band V. Geometrie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971. 

• Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel [Nachdruck der Ausgabe Leipzig, 1916]. Chelsea Publishing Company, New York 1949. 

• Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 2007, ISBN 978-3-540-71132-2. 

• Hugo Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1957, ISBN 3-540-02151-5. 

Herleitung des Pythagoreischen Lehrsatzes mit Hilfe elementarer Rechnungen im Komplexen

Bemerkung vorab

Wie man weiter unten sieht, scheint der Pythagoreische Lehrsatz (fast !!!) eine triviale Folgerung der Grundeigenschaften der komplexen Zahlenebene $\mathbb {C}$ zu sein. Nur ist diese Einschätzung nicht gerechtfertigt. Selbstverständlich sind die Grundeigenschaften der komplexen Zahlenebene darauf ausgerichtet, dass der Pythagoras Gültigkeit hat.

(I) Erläuterung des Ansatzes

Diese Herleitung beruht auf der folgenden Ansatz: Man darf für den Beweis oBdA davon ausgehen, dass ein spezielles rechtwinkliges Dreieck $\Delta =ABC$ in der komplexen Zahlenebene $\mathbb {C}$ vorliegt, dessen erste Kathetengerade $AC$ mit der reellen Achse der komplexen Zahlenebene und dessen zweite Kathetengerade $BC$ mit der imaginären Achse der komplexen Zahlenebene zusammenfällt. Der rechte Winkel des Dreiecks $\Delta$ liegt also bei $C=0$.

Denn folgt der Satz für diesen speziellen Fall, so folgt er allgemein, da die Geometrie der komplexen Zahlenebene mit der ebenen euklidischen Geometrie übereinstimmt und da zu einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck durch Anwendung geeignet gewählter ebene Kongruenzabbildungen stets ein spezielles rechtwinkliges Dreieck der genannten Art, welches zu jenem kongruent ist, gefunden werden kann.

(II) Berechnung

Es ist $A$ rein reell und $B$ rein imaginär. Also gilt gleichzeitig:

$A={\overline {A}}$

und:

$A^{2}=|A|^{2}$:

sowie für den Realteil $\Re (B)$ von $B$:

$\Re {(B)}=0$.

Hieraus gewinnt man unmittelbar die folgenden Gleichungskette:

$c^{2}=|A-B|^{2}=(A-B)\cdot {\overline {(A-B)}}=(A-B)\cdot ({\overline {A}}-{\overline {B}})=(A-B)\cdot (A-{\overline {B}})=A^{2}-A\cdot {\overline {B}}-A\cdot B+B\cdot {\overline {B}}=A^{2}-A\cdot ({\overline {B}}+B)+|B|^{2}$

und damit

$c^{2}=A^{2}-A\cdot 2\cdot \Re {(B)}+|B|^{2}=A^{2}-A\cdot 0+|B|^{2}=|A|^{2}+|B|^{2}$

und schließlich:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Literatur

• György Hajós: Einführung in die Geometrie. (BEVEZETÉS A GEOMETRIÁBA. Deutsche Übersetzung und Redaktion: DR. G. EISENREICH (Leipzig)). B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1970. 
• Helmut Karzel / Hans-Joachim Kroll: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-08524-8. 

Schenkeltransversalensatz

Der Schenkeltransversalensatz ist ein Satz der Elementargeometrie der Dreiecke, welcher mit dem Satz des Pythagoras gleichwertig ist.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck $\Delta =ABC$ mit Basiswinkeln bei den Eckpunkten $A$ und $B$ und der Spitze im Eckpunkt $C$. Die durch die Basis von $\Delta$ verlaufende Gerade sei $g=AB$.

Weiter sei gegeben eine Transversale durch die Spitze $C$ von $\Delta$, welche $g$ in einem Punkt $P$ schneidet.

Dann gilt:

(*) ${\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}$

mit:

$\epsilon =-1$, falls $P$ zwischen $A$ und $B$ liegt

$\epsilon =+1$ sonst

Beweis des Satzes

Man darf ohne oBdA annehmen, dass das Dreieck $\Delta =ABC$ eine geometrische Figur der komplexen Zahlenebene darstellt. Dabei lassen sich sogar folgende Gegebenheiten annehmen:

1. Die Gerade $g$ fällt mit der reellen Achse $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ zusammen.
2. Die Spitze $C$ liegt auf der imaginären Achse.
3. Der Höhenfußpunkt der von $C$ auf $g$ gefällten Höhe fällt mit $0$ zusammen.
4. Es ist $A<0<B$

Denn folgt der Satz für diesen speziellen Fall, so folgt er allgemein, da die Geometrie der komplexen Zahlenebene mit der ebenen euklidischen Geometrie übereinstimmt und da zu einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck durch Anwendung geeignet gewählter ebene Kongruenzabbildungen stets ein spezielles Dreieck der genannten Art, welches zu jenem kongruent ist, gefunden werden kann.

Erste Folgerungen

Es ist $[A,B]\subset \mathbb {R}$ mit $A=-B$.

Weiter ist $P\in \mathbb {R}$ und $C\in {\mathrm {i} }\mathbb {R}$.

Fallunterscheidung

Drei Fälle sind zu betrachten:

(I) : $P<A$

Dann gilt:

$\epsilon =+1$

und weiter:

$\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=|P-A|\cdot |P-B|=(A-P)\cdot (B-P)=(A-P)\cdot (-A-P)=-(A-P)\cdot (A+P)=P^{2}-A^{2}$

(II) : $A\leq P\leq B$

Dann gilt:

$\epsilon =-1$

und weiter:

$\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=-(P-A)\cdot (B-P)=(P-A)\cdot (-B+P)=(P-A)\cdot (A+P)=P^{2}-A^{2}$

(III) : $B<P$

Dann gilt:

$\epsilon =+1$

und weiter:

$\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=(P-A)\cdot (P-B)=(P-A)\cdot (P+A)=P^{2}-A^{2}$

Schlussfolgerung

In jedem der drei obigen Fälle gewinnt man unter Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes bzgl. der beiden rechtwinkligen Dreiecke $ADC$ und $PDC$ die folgenden Gleichungen:

${\overline {CP}}^{2}=|C|^{2}+P^{2}=(|C|^{2}+A^{2})+(P^{2}-A^{2})={\overline {AC}}^{2}+\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}$

und damit (*).

Gleichwertigkeit mit dem Pythagoreischen Lehrsatz

Der Schenkeltransversalensatz ergibt sich wie gesehen unter Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes.

Andererseits impliziert der Schenkeltransversalensatz seinerseits den Pythagoreischen Lehrsatz. Diesen erhält man, indem man zu einem vorgegebenen rechtwinkligen Dreieck $ADC$ mit rechtem Winkel bei $D$ den Punkt $B$ als Spiegelpunkt von $A$ auf der Geraden $g=AD$ durch Punktspiegelung am Punkte $D$ konstruiert und zugleich $P=D$ setzt.

Dann ergibt sich gemäß Fall (II) oben:

${\overline {CD}}^{2}={\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}-{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {AC}}^{2}-{\overline {PA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}-{\overline {AD}}^{2}$

und dann:

${\overline {CD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}={\overline {AC}}^{2}$.

Literatur

• Theophil Lambacher und Wilhelm Schweizer [Hrsg.]: Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 
• Helmut Karzel / Hans-Joachim Kroll: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-08524-8. 

Hahnscher Einschiebungssatz / in Arbeit

Inhalt: Auf metrischen Räumen lässt zwischen eine oberhalb-stetige Funktion g und eine unterhalb-stetige Funktion h stets eine stetige Funktion f einschieben, also so dass g ≤ f ≤ h ist. (Satz 32-2-6 bei Hahn). Folgerung aus dem Baireschen Satz, wonach auf metrischen Räumen jede halbstetige Funktion als Grenzfunktion eine monotonen Folge von stetigen Funktionen darstellbar ist.

Literatur

Bücher

• Hans Hahn: Reelle Funktionen. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1948. 
• Felix Hausdorff: FELIX HAUSDORFF. Gesammelte Werke. Band III. Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. Herausgegeben von U. Felgner, H. Herrlich, M. Hušek, V. Kanovei, P. Koepke, G. Preuß, W. Purkert und E. Scholz. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76806-7. 
• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts [u. a.] 1970. 

Satz von Hausdorff zur Totalbeschränktheit

Der Satz von Hausdorff ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er wurde 1927 von Felix Hausdorff in seiner Grundzüge der Mengenlehre vorgestellt. Der Satz formuliert ein Kriterium für die Kompaktheit metrischer Räume.

Formulierung des Satzes

In metrischen Räumen ist die Existenz von Cauchy-Teilfolgen in Folgen gleichbedeutend mit der Totalbeschränktheit des zugrundeliegenden Raums.

Literatur

• Felix Hausdorff: Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band III. Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. Herausgegeben von U. Felgner, H. Herrlich, M. Hušek, V. Kanovei, P. Koepke, G. Preuß, W. Purkert und E. Scholz. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76806-7. 

• Mark A. Najmark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4. 

• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts [u. a.] 1970. 

Satz von Kuratowski (Maßtheorie) / in Arbeit

Der Satz von Kuratowski der Maßtheorie ist ein bedeutendes Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie, welches auf den polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der maßtheoretischen Isomorphie von Borelmengen polnischer Räume.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

Seien $X_{1}$ und $X_{2}$ polnische Räume und sei $B_{1}\subseteq X_{1}$ eine Borelmenge von $X_{1}$.

Sei weiter $\phi \colon \,B_{1}\to X_{2}$ eine injektive Borel-messbare Abbildung.

Dann ist $B_{2}:={\phi }(B_{1})\subseteq X_{2}$ eine Borelmenge von $X_{2}$ und ${\phi }^{-1}\colon \,B_{2}\to B_{1}$ ist ebenfalls Borel-messbar.

D. h.: $\phi \colon \,B_{1}\to B_{2}$ ist in diesem Sinne ein Isomorphismus.

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. überarb. Auflage. de Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0. 

• Kalyanapuram R. Parthasarathy: Probability Measures on Metric Spaces. Academic Press, New York London 1967. 

Satz von Birkhoff und Wallace (Topologie) / in Arbeit

Quasikompaktheit und Halbstetigkeit ....

Formulierung des Satzes

...

Literatur

• Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 1. Auflage. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 1948. 

Satz von Hanner (in Arbeit)

.....

Literatur

Monographien

• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. 

Einbettungssatz von Menger und Nöbeling (in Arbeit)

.....

Literatur

Monographien

• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 

Satz von Poincaré-Volterra / in Arbeit

Der Satz von Poincaré-Volterra ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welcher auf den beiden Mathematikern Henri Poincaré und Vito Volterra zugeschrieben wird. Er behandelt die Frage der Übertragbarkeit topologischer Eigenschaften durch offene stetige Abbildungen und gibt eine hinreichende Bedingung, unter denen dies möglich ist.

Formulierung des Satzes

Gegeben seien zwei Hausdorffräume   $X$   und   $Y$  .   $X$   sei zusammenhängend und   $Y$   sei lokal kompakt und lokal zusammenhängend und besitze eine abzählbare Basis .

Ferner sei   ${\phi }\colon \,X\to Y$   eine offene stetige Abbildung, welche der folgenden Zusatzbedingung genüge: Jedes Element   $x\in X$   besitzt eine offene Umgebung   $U\subseteq X$   derart, dass die Einschränkung   ${\phi }{\upharpoonright }U\colon \,U\to {\phi }(U)$  einen Homöomorphismus darstellt.

Dann ist auch   $X$   lokal kompakt und lokal zusammenhängend und besitzt eine abzählbare Basis .

Literatur

• Nicolas Bourbaki: General topology. Part I. Hermann [u.a.], Paris 1966. 

WEITERES ZUR LYM-UGLEICHUNG

Spätestens seit Lubells einfacher Herleitung des Satzes von Sperner mit Hilfe der LYM-Ungleichung nimmt diese in der Spernertheorie einen zentralen Platz ein. Nach Lubells Artikel wurde eine Fülle von Ergebnissen über den Zusammenhang zwischen der LYM-Ungleichung bzw. LYM-artigen Ungleichungen und der Spernertheorie vorgelegt.

Die Ahlswede-Zhang-Identität

Diese Identität (auch AZ-Identität genannt, in der englischsprachigen Literatur als AZ identity bezeichnet ) geht auf die beiden Mathematiker Rudolf Ahlswede und Zhen Zhang zurück. Sie stellt eine Verschärfung der LYM-Ungleichung dar und lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei eine endliche Menge   $M$   mit   $n$   Elementen (   $n\in \mathbb {N}$   ) und dazu ein nicht-leeres Mengensystem   ${\mathcal {A}}\neq \emptyset$   von nicht-leeren Teilmengen von $M$, also eine nicht-leere Teilmenge der reduzierten Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)\setminus \{\emptyset \}$   .

Weiter sei für   $X\subseteq M$   :

$D_{\mathcal {A}}(X)={\begin{cases}\ \;\,\bigcap \{A\mid A\in {\mathcal {A}}\land A\subseteq X\}&\exists A\in {\mathcal {A}}:A\subseteq X\\\ \;\,\emptyset &\mathrm {sonst} \end{cases}}$

Dann gilt:

$\sum _{\emptyset \neq X\subseteq M}{\frac {|D_{\mathcal {A}}(X)|}{|X|\cdot {\binom {n}{|X|}}}}=1$

Ist   ${\mathcal {A}}$   eine Antikette von ${\mathcal {P}}(X)$ und   $A\in {\mathcal {A}}$   , so ist   $D_{\mathcal {A}}(A)=A$ . Also ist   $\sum _{A\in {\mathcal {A}}}{\frac {1}{\binom {n}{|A|}}}=\sum _{A\in {\mathcal {A}}}{\frac {|A|}{|A|\cdot {\binom {n}{|A|}}}}$   in der obigen Summe enthalten, was was zeigt, dass die AZ-Identität die LYM-Ungleichung unmittelbar impliziert.

Zusammenhang mit Gruppenoperationen

Ein Ansatz zur Behandlung der LYM-Eigenschaft (engl. LYM property) und auch zur Herleitung des Satzes von Sperner geht aus von der einfachen, jedoch wichtigen Beobachtung, dass bei einer endlichen Potenzmenge   $2^{M}\,$   die Automorphismengruppe $Aut(2^{M},\subseteq )$ "im Wesentlichen" identisch ist mit der symmetrischen Gruppe $S_{M}\,$ der Grundmenge $M\,$ und daher die Orbits $Aut(2^{M},\subseteq )\cdot X=\{\phi (X):\phi \in Aut(2^{M},\subseteq )\}$ ( $X\subseteq M$ ) nichts weiter sind als die Mächtigkeitsklassen innerhalb   $2^{M}\,$  . Betrachtet man nun statt   $Aut(2^{M},\subseteq )$   andere endliche Gruppen und allgemeine Gruppenoperationen, so ergibt sich die folgende verallgemeinerte LYM-Ungleichung, welche auch unabhängig von Ordnungsbetrachtungen Gültigkeit hat :

Gegeben sei eine endliche Gruppe $(G,\cdot )$ sowie eine endliche Menge $S\,$ , welche durch eine Gruppenoperation der Form

$G\times S\to S$

$(g,s)\mapsto g\cdot s$.

verknüpft seien.

Weiter sei gegeben eine Teilmenge $A\subseteq S$ , eine endliche Indexmenge $I\,$ und dazu eine Familie $(c_{i})_{i\in I}$ von Elementen von $S\,$.

Für $g\in G$ sei   $I_{g}=\{i\in I:{g\cdot c_{i}}\in A\}$  .

Dann gilt für jede Familie $(w_{i})_{i\in I}$ reeller Zahlen :

$\sum _{i\in I}{\frac {|{G\cdot c_{i}}\cap {A}|}{|{G\cdot c_{i}}|}}\cdot w_{i}\leq \max _{g\in G}\sum _{i\in I_{g}}{w_{i}}$.

Diese Verallgemeinerte LYM-Ungleichung umfasst die ursprüngliche Lubell-Yamamoto-Meshalkin-Ungleichung ebenso wie die Ungleichung von Bollobás und andere.

Allgemeiner Charakterisierungssatz zur LYM-Eigenschaft

Die Verallgemeinerte LYM-Ungleichung kann als Lemma herangezogen, um im folgenden allgemeinen Charakterisierungssatz zur LYM-Eigenschaft (engl. LYM property) einen wichtigen Teilschritt zu beweisen:

Gegeben sei eine endliche (teilweise) geordnete Menge $(P,\leq )\neq \emptyset$ und hier sei ${\mathcal {O}}=\{O_{1},\dots ,O_{t}\}\subseteq 2^{P}$ $(|{\mathcal {O}}|=t\in \mathbb {N} )$ die Familie der Orbits $Aut(P,\leq )\cdot x=\{\phi (x):\phi \in Aut(P,\leq )\}$ ( $x\in P$ ) innerhalb $(P,\leq )$, welche durch die Operation der Automorphismengruppe $Aut(P,\leq )$ innerhalb $(P,\leq )$ entstehen und auf diesem Wege eine aus Antiketten bestehende Partition der Grundmenge liefern.

Weiter sei ${\mathcal {C}}\subseteq 2^{P}$ die Familie der Ketten innerhalb $(P,\leq )$.

Schließlich sei bei gegebener Gewichtungsfunktion $w\colon P\rightarrow [0,\infty [$ für jedes $X\subseteq P$

$w(X)={\sum _{x\in X}{w(x)}}$.

Dann sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

1. Für jede Antikette $A\subseteq (P,\leq )$ gilt   ${\sum _{k=1}^{t}{\frac {|A\cap {O_{k}}|}{|{O_{k}}|}}}\leq 1$.
2. $\max _{C\in {\mathcal {C}}}{|C|}=t$.
3. Die Partition ${\mathcal {O}}=\{O_{1},\dots ,O_{t}\}$ besitzt ein Repräsentantensystem, welches zugleich eine Kette innerhalb $(P,\leq )$ darstellt.
4. Jeder Orbit $O\in {\mathcal {O}}$ ist maximal in der durch Inklusion (teilweise) geordneten Menge der Antiketten von $(P,\leq )$.
5. Für jede Gewichtungsfunktion $w\colon P\rightarrow [0,\infty [$, bei der sämtliche Restriktionen $w{\upharpoonright }O$ konstante Funktionen sind, gilt   $\max _{A\subseteq (P,\leq )\ \mathrm {Antikette} }{w(A)}=\max _{O\in {\mathcal {O}}}{w(O)}$.
6. Für jede Gewichtungsfunktion $w\colon P\rightarrow [0,\infty [$, bei der sämtliche Restriktionen $w{\upharpoonright }O$ konstante Funktionen sind, und für jede Teilmenge $A\subseteq (P,\leq )$, welche keine Kette mit mehr als $r$ Elementen ($r\in \mathbb {N} ,r\leq t$ ) umfasst, gilt  $w(A)\leq \max _{1\leq i_{1}<\dots <i_{r}\leq t}{w(O_{i_{1}})+\dots +w(O_{i_{r}})}$.

Normale geordnete Mengen

Der Ausgangspunkt sind hier die beiden Spernerschen Ungleichungen, welche Emanuel Sperner selbst in seinem 1928-er Artikel als wesentliche Argumentationshilfe benutzt. Von ihnen lässt sich zeigen, dass sie logisch äquivalent zur LYM-Ungleichung sind.

Setzt man dies in den weiteren Rahmen der Ordnungstheorie, so gelangt man zu den normalen geordneten Mengen (engl. normal posets). Charakteristische Eigenschaft der normalen geordneten Mengen ist die (in der englischsprachigen Literatur) sogenannte normalized matching property , welche als Übertragung der beiden Spernerschen Ungleichungen in den Rahmen der endlichen geordneten Mengen mit Rangfunktion (englisch rank function) zu betrachten ist. Es lässt sich zeigen, dass beide Ungleichungen in diesem Rahmen mit der LYM-Ungleichung gleichwertig ist. In der englischsprachigen Literatur spricht man hier - in einem etwas anderen Sinne als oben! - dann auch von der LYM-Eigenschaft (engl. LYM property). Einen umfassenden Überblick über diesen Zweig der Spernertheorie geben die beiden Monographien von Anderson und von Engel sowie die beiden Übersichtsartikel von Greene / Kleitman und von West .

Quellen

Artikel und Originalarbeiten

• R. Ahlswede ; Z. Zhang: An identity in combinatorial extremal theory. In: Advances in Mathematics. Band 80, 1990, S. 137–151. MR1046687

• R. Ahlswede ; N. Cai: A generalization of the AZ identity. In: Combinatorica. Band 13, 1993, S. 241–247.  MR1238819

• Douglas B. West: Extremal problems in partially ordered sets in : Ivan Rival (ed.): Ordered Sets. Proceedings of the NATO advanced study institute held at Banff, Canada, August 28 to September 12, 1981. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht [u.a.] 1982, ISBN 90-277-1396-0, S. 473–521.  MR0661304

• Béla Bollobás: On generalized graphs. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, Vol. 16, 3–4, (1965): 447–452. doi:10.1007/BF01904851, MR0183653

• Curtis Greene and Daniel J. Kleitman: Proof techniques in the theory of finite sets in : G. C. Rota (ed.): Studies in Combinatorics. Mathematical Association of America, Washington, DC 1978, ISBN 0-88385-117-2, S. 23–79.  MR0513002

• D. J. Kleitman: On an extremal property of antichains in partial orders. The LYM property and some of its implications and applications in : M. Hall and J. H. van Lint (eds.): Combinatorics (Math. Centre Tracts 55). Amsterdam 1974, S. 77–90.  MR0360379

• D. Lubell: A short proof of Sperner's lemma. Journal of Combinatorial Theory, Vol. 1, 2 (1966): 299. doi:10.1016/S0021-9800(66)80035-2, MR0194348

• L.D. Meshalkin: Generalization of Sperner's theorem on the number of subsets of a finite set. Theory of Probability and its Applications, Vol. 8, 2 (1963): 203–204. doi:10.1137/1108023, MR0150049

• Hans-Josef Scholz: Über die Kombinatorik der endlichen Potenzmengen im Zusammenhang mit dem Satz von Sperner. Dissertation, Universität Düsseldorf (1987).

• Emanuel Sperner: Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge. Math. Z. 27 (1928): 544–548. MR1544925

• Koichi Yamamoto: Logarithmic order of free distributive lattice. Journal of the Mathematical Society of Japan, Vol. 6 (1954): 343–353. MR0067086.

Monographien

• Martin Aigner: Kombinatorik II: Matroide und Transversaltheorie (= Hochschultext). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1976, ISBN 3-540-07949-1.  MR0460127

• Martin Aigner: Combinatorial Theory (= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 234). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1979, ISBN 3-540-90376-3.  MR0542445

• Martin Aigner: Diskrete Mathematik (= Dokumente zur Geschichte der Mathematik. Band 6). 6. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8.  MR1085963

• Ian Anderson: Combinatorics of Finite Sets. Clarendon Press, Oxford 1987, ISBN 0-19-853367-5.  MR0892525

• Konrad Engel: Sperner Theory (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 65). Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1997, ISBN 0-521-45206-6.  MR1429390

• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York, NY 2005, ISBN 0-387-24219-8.  MR2127991

• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan: Combinatorics: The Rota Way. Cambridge University Press, Cambridge (u. a) 2009, ISBN 978-0-521-73794-4.  MR2483561

• Stasys Jukna: Extremal Combinatorics (= Texts in Theoretical Computer Science). Springer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17363-9.  MR2865719

Weblinks

• Lectures on extremal set systems and two-colorings of hypergraphs (PDF; 237 kB) von Gy. Károlyi.
• Kombinatorische Methoden in der Informatik. (PDF; 1,4 MB) Skript einer Vorlesung von Prof. Dr. Peter Hauck, Uni Tübingen, SS 2008.
• Artikel von Rudolf Ahlswede und Ning Cai zur AZ-Identität
• Artikel von T. D. Thu zur AZ-Identität

Hilfen

1. 
   (Leerzeile)
2. $x$
3. → Hauptartikel: XXXX
4. englisch illuminance
5. \begin{align} X & = ...\\ & = ... \end{align}

Einzelnachweise

<references>