Schwerpunkt

Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Mittelpunkt des Körpers in Bezug auf die Schwerkraft. Davon abgeleitet wird der Begriff auch in der Geometrie und im übertragenen Sinn verwendet.

Physikalischer Schwerpunkt

Im Sinne der klassischen Mechanik ist der Schwerpunkt der Punkt, an dem die Masse des Körpers die gleiche Wirkung auf andere Körper hätte, wenn sie in diesem Punkt vereint wäre. Umgekehrt kann man die Gravitation, die auf alle Massenpunkte des Körpers wirkt, durch eine einzige Kraft darstellen, die im Schwerpunkt angreift.

Wenn ein Körper weit genug von anderen Körpern entfernt ist bzw. wenn er sehr klein ist im Vergleich zum anziehenden Körper, dann kann man den Körper als Massenpunkt annähern, dessen Masse im Schwerpunkt vereinigt ist. Das gilt zum Beispiel für einzelne Planeten im Weltraum oder für Gegenstände auf der Erdoberfläche. Wenn sich die Stärke des Gravitationsfeldes nur wenig ändert, so dass sie über der ganzen Ausdehnung des Körpers als konstant angenommen werden kann, dann fällt der Schwerpunkt mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Das gilt zum Beispiel für Körper auf der Erdoberfläche oder Satelliten in einer Umlaufbahn, nicht aber für den Mond oder auch die Erde in Bezug auf das Gravitationsfeld des Mondes. In der Nähe eines Schwarzen Loches würde selbst für einen kleinen Körper wie ein Raumschiff oder sogar einen Menschen das Gravitationsfeld merklich verschieden sein für verschiedene Teile des Körpers. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf.

Ist ein Körper homogen, besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat, so entspricht sein Massenschwerpunkt dem geometrischen Volumenschwerpunkt, der weiter unten erklärt wird. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenschwerpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Dichte innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Schwerpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, aus dem Isaac Newton die Infinitesimalrechnung entwickelte (gleichzeitig mit Leibniz).

Der Trägheitsschwerpunkt eines Körpers, also der Mittelpunkt bezüglich des Trägheitsmoments, fällt mit seinem Massenmittelpunkt zusammen. Er kann also bei einem ausgedehnten Körper bzw. in einem sich über kurze Entfernungen ändernden Gravitationsfeld vom Schwerpunkt abweichen.

In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenschwerpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. Im Schwerpunktsystem wird der Schwerpunkt als Koordinatenursprung verwendet.

Geometrischer Schwerpunkt

Den Schwerpunkt einer Fläche oder eines Körpers kann man mit Mitteln der Mathematik, der Geometrie, ausrechnen, oder, wenn die Fläche bzw. der Körper aus homogenem Material hergestellt wird, rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Letztere Methode wird oft angewandt, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (z. B. Mittelpunkt Europas, Mittelpunkt Deutschlands).

Beispiele geometrischer Flächen

ebene Flächen

• Trapez: $y_{s}={\frac {h}{3}}{\frac {a+2b}{a+b}},x_{s}={\frac {a^{2}-b^{2}+\xi (a+2b)}{3(a+b)}}$
• Dreieck: $y_{s}={\frac {h}{3}},x_{s}={\frac {b+\xi }{3}}$, Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden:

Schwerpunkt eines Dreiecks ($X_{2}$)
Trilineare Koordinaten	${\frac {1}{a}}\,:\,{\frac {1}{b}}\,:\,{\frac {1}{c}}$ $=\,bc\,:\,ca\,:\,ab$ $=\,\csc \alpha \,:\,\csc \beta \,:\,\csc \gamma$
Baryzentrische Koordinaten	$1\,:\,1\,:\,1$

• Halbkreis: $y_{s}={\frac {4r}{3\pi }}$

räumliche (gekrümmte) Flächen

• Mantel von Pyramide und Kegel: $z_{s}={\frac {h}{4}}$
• Schwerpunkt einer Rotationsparaboloids: $y_{s}={\frac {h}{3}}$

Schwerpunkt einer Linie

• beliebiger flacher Bogen: $y_{s}\approx {\frac {2h}{3}}$Datei:Flacher bogen.png
• Kreisbogen: $y_{s}={\frac {2r\sin \alpha }{3\alpha }}={\frac {2rl}{3b}}$

Siehe auch: Rotationsfläche, Rotationskörper

Der Kern einer bestimmten Tätigkeit

Im übertragenen Sinne ist der Schwerpunkt der Kern einer bestimmten Tätigkeit oder eines Systems, mithin das, worauf man im Rahmen dieser Tätigkeit oder des Systems besonderen Wert legt. Zum Beispiel besteht der Schwerpunkt der Tätigkeit eines Taxifahrers darin, Passagiere mit seinem Taxi zu befördern. Tätigkeiten wie die Instandhaltung des Autos sind auch wichtig, dienen aber dazu, die Schwerpunkttätigkeit erst zu ermöglichen.