Differentialrechnung

In der Mathematik ist die Differentialrechnung eine der zwei Hauptgebiete der Analysis. Erfunden wurde sie (unabhängig von einander) von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz, die von unterschiedlichen Problemstellungen ausgingen.

Leibniz ging von einem geometrischen Problem aus, dem Tangentenproblem: Er wollte eine Gerade an eine Kurve legen, die diese in einer kleinen Umgebung möglichst gut annähert.

Newtons Ansatzpunkt war das physikalische Problem der Momentangeschwindigkeit: Es soll zu einer ungleichförmigen Bewegung zu einem gegebenen Zeitpunkt eine gleichförmige Bewegung gefunden werden, die sie in einem kleinen Zeitintervall möglichst gut annähert.

Beide Problemstellungen lassen sich zurückführen auf das Suchen der Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt einer stetigen Funktion.

Differentialquotient

Die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten des Graphens einer Funktion f(x) ist

$k={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

Lasst man nun die beiden Punkte immer näher zusammen wandern und bildet den Grenzwert, erhält man den Differenzialquotienten:

$k={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=f'(x_{0})$

Newtowns Ansatz führt zu dem gleichen Ergebnis: Wenn f(t) den in der Zeit t zurückgelegten Weg angibt, so ist die mittlere Geschwindigkeit:

${\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {f(t_{0}+\Delta t)-f(t_{0})}{\Delta t}}$

bildet man nun wieder den Grenzwert für Δt nach 0 ergibt sich die Momentangeschwindigkeit:

$\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {dt}{ds}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {f(t_{0}+\Delta t)-f(x_{t})}{\Delta t}}$

Ableitungsfunktion

Kann man an jeder Stelle x im Definitionsbereich einer reellen Funktion den Differentialquotienten bestimmen so nennt man sie differenzierbar. Die Funktion der Differentialquotienten an allen Stellen von f nennt man die Ableitungsfunktion f' - oder kurz Ableitung - von f. f'(x0) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x0. Sie entspricht der Steigung des Graphen der Funktion an der Stelle x0

Ableitungsregeln

Seien f, g und h (im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen und n, d und k reelle Zahlen, dann gilt:

• Potenzfunktion: (xⁿ)' = nx^n-1
• konstante Funktion: (d)' = 0
• Summenregel: (g+h)' = g'+h'
• Differenzenregel: (g-h)' = g'-h'
• Konstantenregel: (a·f)' = a·f'
• Produktregel: (g·h)' = g'h + h'g
• Quotientenregel: $\left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'h-gh'}{h^{2}}}$
• Kettenregel: (g(h(x)))' = g'(h(x))·h'(x)
• Umkehrregel: Ist f eine, an der Stelle x₀ differenzierbare, bijektive Funktion mit f'(x₀)≠0, und ihre Umkehrfunktion f* bei f(x₀) stetig und differenzierbar, dann gilt: f*'(f(x₀)) = 1 / f'(x₀) (Spiegelt man einen Punkt P des Graphen von f an der 1.Mediane und erhält damit P* auf f*, so ist die Steigung von f* in P* der Kehrwert der Steigung von f in P)

Die Ableitungen einiger elementarer Funktionen sind in der Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen angegeben.

Ableitungen nach der Zeit

Die wichtigste Anwendung der Analysis in der Physik ist die Ableitung nach der Zeit: die Änderungsrate.

Wenn man zum Beispiel die Funktion der zurückgelegten Strecke (Position) nach der Zeit ableitet erhält man die Geschwindigkeit. Leitet man diese nach der Zeit ab, erhält man die Beschleunigung.

Siehe auch: Differentialgleichung, Integralrechnung