Dreieckszahl

Eine Dreieckszahl beziffert die Anzahl der Kreise (oder Punkte), die nötig sind, um ein gleichseitiges Dreieck in gleichmäßigen Abständen auszufüllen.

Ein Bild sagt mehr als tausend Worte (für "Nicht-Mathematiker"): http://www.numerologie-online.de/dreieck.htm

Die Dreieckszahlen sind: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, ... (Folge A000217 in OEIS)

• Die n-te Dreieckszahl läßt sich über die Funktion $a_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}$ erzeugen.
• Die n-te Dreieckszahl ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen.
• Bei allen Dreieckszahlen > 3 handelt es sich um zusammengesetzte Zahlen.
• Die Summe der ersten n Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der n-ten Dreieckszahl [Bsp.: 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²]
• Die Differenz der Quadrate zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine Kubikzahl.

Dies läßt sich aus der darüber gehenden Eigenschaft ableiten. Wenn das Quadrat der n.ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n Kubikzahlen gebildet wird, und das Quadrat der (n+1).ten Dreieckszahl aus der Summme der ersten n+1 Kubikzahlen gebildet wird, muß als Differenz die (n+1).te Kubikzahl herauskommen.

• Die Summe zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine Quadratzahl

Dies läßt sich auf wenigstens zweierlei Arten zeigen, nämlich auf die graphische Weise und durch Umformungen der Formel.

Die graphische Lösung:

• Wie man sehen kann, passen die beiden Dreieckszahlen wie Schlüssel und Schloß ineinander. Das alleine ist aber noch kein Beweis, das die Summe zweier beliebiger aufeinanderfolgender Dreieckszahlen immer eine Quadratzahl bilden. Eine Dreieckszahl ${\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$ läßt sich als Summe von $n\$ und der vorhergehenden Dreieckszahl ${\frac {(n-1)\cdot n}{2}}$ darstellen: . Dementsprechend gilt $2\cdot {\frac {(n-1)\cdot n}{2}}+n=(n-1)\cdot n+n=n^{2}-n+n=n^{2}$

• Durch Umformung der Summe der aufeinander folgenden Dreieckszahlen kommt man auch auf $n^{2}\$:

${\frac {(n-1)\cdot n}{2}}+{\frac {n\cdot (n+1)}{2}}={\frac {n\cdot (n-1+n+1)}{2}}={\frac {n\cdot (2n)}{2}}={\frac {2n^{2}}{2}}=n^{2}$

• Jede vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl:

Nach Leonhard Euler läßt sich eine vollkommene Zahl durch die Formel $(2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}$ darstellen, wobei $2^{n}-1\$ eine Primzahl sein muß. Wenn man die Formel $(2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}$ mit 2 multiplikativ erweitert, und $2^{n}\$ durch $m\$ substituiert, kommt man auf die Formel, die Dreieckszahlen repräsentiert:

$(2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}={\frac {(2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}\cdot 2}{2}}={\frac {(2^{n}-1)\cdot 2^{n}}{2}}\Rightarrow {\frac {(m-1)\cdot m}{2}}$

• Jede Zahl lässt sich als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen ausdrücken. Diese Entdeckung stammt von Carl Friedrich Gauß. Seine vielleicht berühmteste Tagebucheintragung machte er am 10. Juli 1796. Sie lautete:

EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ

• Die Summe der Kehrwerte aller Dreieckszahlen ist 2.
• 36 ist (bislang) das einzige bekannte Quadrat einer Dreieckszahl, das selbst eine Dreieckszahl ist.
• Das Achtfache plus 1 einer Dreieckszahl ist immer eine Quadratzahl.
• 55, 5.050, 500.500, 50.005.000, etc. sind Dreieckszahlen
• Die 1111. Dreieckszahl, 617.716, und die 111.111. Dreieckszahl, 6.172.882.716, sind palindromische Dreieckszahlen. Dies hat Charles Trigg herausgefunden. Dies gilt auch für die 11. Dreieckszahl 66 und die 11.111.111. Dreieckszahl 61.728.399.382.716, nicht aber für die 111., die 11.111. und die 1.111.111. Dreieckszahl.
• Die Glieder der Folge 3, 10, 21, 36, 55, 78, ... (eine Teilmenge der Dreieckzahlen) lassen sich über die Formel $n*(2n+1)$ bilden.
• Für die andere Hälfte: 1, 6, 15, 28, 45, 66, ... gilt die Bildungsregel $n*(2n-1)$.

Ihre räumliche Erweiterung ist die Tetraederzahl

siehe auch: Tetraktys, Liste besonderer Zahlen, Rechteckzahl, Fünfeckszahl