Intervallskala

Die Intervallskala (z.T. auch Kardinalskala) ist eine der vier wichtigsten Skalenniveaus in der Statistik

Als kardinales Merkmal oder auch quantitatives Merkmal bezeichnet man ein Merkmal, dessen Ausprägung sich quantitativ mittels Zahlen darstellen lässt. Das heißt insbesondere auch, dass Rangunterschiede und Abstand zwischen Werten gemessen werden können, d.h. quantitative Merkmale gehen in ihren Anforderungen über ordinale oder gar nominale Eigenschaften hinaus.

Beispiele sind: Temperaturen, Flutmarken, Erträge, Gewinne, Einkommen, Umsatzzahlen, Zahl von Insolvenzen, Zeitpunkte, Bewertungen u.ä.

Siehe auch: ordinales Merkmal, nominales Merkmal

Beschreibung

Bei intervallskalierten Merkmalen lassen sich zusätzlich zu den Eigenschaften der Ordinalskala die Abstände zwischen den verschiedenen Merkmalsausprägungen exakt bestimmen. Allerdings existiert kein natürlicher Nullpunkt für die Skala. Willkürlich definierte Nullpunkte, wie z.B. bei der Celsius-Temperaturskala zählen hier nicht als natürlicher Nullpunkt, während der Nullpunkt der Kelvin-Temperaturskala, der dem absolutem Nullpunkt entspricht, ein natürlicher Nullpunkt ist.

Beispiele

Beispiele für intervallskalierte Merkmale sind:

• Temperatur auf der Celsius-Skala,
• Jahreszahlen

Mögliche Operationen

Zusätzlich zu Größenvergleichen sind Differenzen und Summen aus intervallskalierten Merkmalen sinnvoll, da hier die Abstände zwischen den einzelnen Merkmalsausprägungen exakt definiert sind. Damit lassen sich hier auch Durchschnittswerte berechnen. Aufgrund des fehlenden Nullpunkts stellt die Multiplikation keine sinnvolle Operation für intervallskalierte Merkmale dar.

Ein kleines Beispiel möge das verdeutlichen: War es z.B. gestern 10 Grad Celsius und Heute ist es zwanzig Grad, dann kann man zwar behaupten: "Es ist zehn Grad Celsius wärmer", aber nicht: "Es ist doppelt so warm wie gestern". Dies wird besonders deutlich wenn man Celsius in Kelvin oder Fahrenheit transformiert.

Erlaubte Transformationen

Zulässig sind lineare Tranformationen der Art $y=\alpha x+\beta$

mathematische Deutung

Aus mathematischer Sicht ist eine Intervallskala $S$ eine Menge, für die folgendes gilt:

1. Es existiert eine Äquivalenzrelation $E\subseteq S\times S$, nämlich die Identitätsrelation auf $S$: $E=id_{S}=\left\{\left(m,m\right)\vert m\in S\right\}$ (Nominalskalen-Eigenschaft).
2. Es existiert eine lineare Ordnungsrelation $O\subseteq S\times S$ (Ordinalskalen-Eigenschaft).
3. Intervallskalen-Eigenschaft:
   1. Es existiert eine Funktion $\Box -\Box :S\times S\longrightarrow D$ (Man kann Differenzen bilden).
   2. Es existiert eine Funktion $\Box +\Box :S\times D\longrightarrow S$ (Man kann die Differenzen wieder auf Ausprägungen von $S$ addieren), für die außerdem gilt:
      1. $\forall \left(m\in S\right):\left(s+0=s\right)$ (Das Addieren von Null bringt keine Änderung)
      2. $\forall \left(m_{0}\in S\right):\forall \left(m_{1}\in S\right):\left(m_{0}+\left(m_{1}-m_{0}\right)=m_{1}\right)$ (Differenzbildung ist konsistent mit Aufaddierung)
      3. $\forall \left(d_{0}\in D\right):\forall \left(d_{1}\in D\right):\forall \left(m\in S\right):\left(\left(m+d_{0}\right)+d_{1}=m+\left(d_{0}+d_{1}\right)\right)$ (eine Art einseitiges Assoziativgesetz)
   3. Die Menge der Differenzen $D$ ist den reellen Zahlen in folgender Hinsicht ähnlich:
      1. $\left(D,\Box +\Box \right)$ ist ein Untermonoid von $\left(\mathbb {R} ,\Box +\Box \right)$ (reelle Zahlen mit der Addition).

Jedes Element $m\in S$ heißt Ausprägung von $S$.

Jede Intervallskala ist eine Ordinalskala.