Hauptdiagonale

In der linearen Algebra ist eine Diagonale einer quadratischen Matrix eine Linie, die schräg durch das Koeffizientenschema geht. Von besonderer Bedeutung ist die Hauptdiagonale, die von oben links nach unten rechts verläuft.

Diagonalen bei $2\times 2$-Matrizen

Bei einer Matrix der Form

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

gibt es zwei Diagonalen: Die Einträge $a$ und $d$ bilden die Hauptdiagonale, die von oben links nach unten rechts verläuft. Die Einträge $b$ und $c$ bilden die sogenannte Nebendiagonale, die von oben rechts nach unten links verläuft.

Die beiden Diagonalen einer $2\times 2$-Matrix spielen eine besondere Rolle bei der Berechnung der Determinanten: Es gilt nämlich die Formel

$\mathrm {det} A=ad-bc$,

die oft sprachlich ungenau abgekürzt wird zu Determinante gleich Hauptdiagonale minus Nebendiagonale.

Die Hauptdiagonalen bei $n\times n$-Matrizen

Bei einer allgemeinen Matrix

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\ldots &a_{n,n}\end{pmatrix}}$

mit den Einträgen $A=(a_{ij})_{i,j=1,...,n}$ besteht die Hauptdiagonale aus den Einträgen $(a_{ii}),i=1,...,n$, also aus allen Zahlen, die auf der Linie von oben links nach unten rechts stehen.

Der Begriff Nebendiagonale hat bei $n\times n$-Matrizen keine einheitliche Definition erfahren und bezeichnet je nach Autor unterschiedliches.

Anmerkungen

Eine quadratische Matrix, bei der nur die Elemente auf der Hauptdiagonalen von null verschieden sind, heißt Diagonalmatrix. Besitzen alle diese Elemente den Wert 1, so ergibt sich die so genannte Einheitsmatrix.

Die Summe der Elemente der Hauptdiagonalen nennt man Spur der Matrix.

Siehe auch

• Diagonaldominante Matrix