Stammfunktion

siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Als Stammfunktion oder unbestimmtes Integral einer reellen Funktion f bezeichnet man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für beliebige Werte x aus I gelten:

$F'(x)\,=\,f(x)$

Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch $G(x)=F(x)+C$ definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Die Bezeichnung unbestimmtes Integral bezeichnet manchmal auch die Menge aller dieser Funktionen.

Ist f eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion F von f das bestimmte Integral von f über [a,b] berechnen:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z.B.:

• Flächenberechnung für Flächen, die von Funktionsgraphen begrenzt werden
• Volumenberechnung für Rotationskörper

Stammfunktionen einfacher Funktionen lassen sich nach einigen wenigen Regeln bestimmen. Eine Tabelle gibt eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Stammfunktionen.

Für jede integrierbare Funktion $f:\,[a,b]\to \mathbb {R}$ ist eine Integralfunktion F definiert durch

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t.$

Diese Funktion ist stetig, und falls auch f stetig ist, ist F nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion von f. Ist jedoch f auf [a,b] integrierbar, aber nicht überall stetig, dann gilt zwar für alle c,d aus [a,b]

$\int _{c}^{d}f(t)\mathrm {d} t=F(d)-F(c),$

aber F ist in diesem Falle nicht überall differenzierbar und somit keine Stammfunktion von f.

Verallgemeinerung

Der Begriff der Stammfunktion lässt sich auch auf komplexe Funktionen übertragen.