Primzahlzwilling
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, die die Differenz 2 haben, also zum Beispiel: (3 und 5) oder (5 und 7) oder (11 und 13).
Der Begriff "Primzahlzwilling" wurde erstmals von Paul Stäckel benutzt.
Man kann daher sagen: Gilt für zwei aufeinanderfolgende Primzahlen p1 und p2 die Beziehung p1 + 2 = p2, so heißen diese Primzahlzwillinge. Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (3 ; 5). Je höher die Zahlen werden, desto weniger Primzahlen gibt es: Daher ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Eine weitere Eigenschaft von Primzahlzwillingen lässt sich mit Hilfe von Restklassen beweisen: Sei p > 3 sowie p und q = p + 2 Primzahlzwillinge, dann gilt: p·q ≡ -1 mod 9. Mit anderen Worten: p·q + 1 ist teilbar durch 9.
2003 bewiesen die Mathematiker Dan Goldston und Cen Yildirim, dass es in der unendlichen Folge der Primzahlen immer wieder kleine Abstände zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen gibt.
ACHTUNG: Leider lag hier ein Fehler in dem 25 Seitigen Beweis vor. Eine Abschätzung soll nicht korrekt sein.
Nähere Informationen zum Error im Beweis:
- http://www.heise.de/newsticker/data/as-30.05.03-000/ Allgemeines
- http://www.aimath.org/primegaps/residueerror/ Die genaue Fehlerbeschreibung
Der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, steht noch aus (siehe ungelöste Probleme der Mathematik).
Die Summe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent, jedoch hat Viggo Brun im Jahr 1919 bewiesen, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Aus dieser Tatsache kann man nicht schließen, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Der Grenzwert der Summe wird Brunsche Konstante genannt und beträgt nach der neuesten Schätzung von 2002 etwa 1,902160583104.
Weblinks
- http://www.aimath.org/goldston_tech/ Über den Beweis von Goldston und Yildirim