Biegemoment

Als Biegemoment wird ein Drehmoment bezeichnet, das einen Stab, einen Balken, einen Träger oder eine Welle auf Biegung belastet. Es ist diejenige Schnittreaktion, die zu bestimmen und mit welcher der Biegefall statisch zu berechnen ist.

Balken mit mittiger Einzel-Last

Ein im Querschnitt eines Balkens wirkendes Biegemoment entsteht typischerweise durch eine Kraft (Last), die außerhalb der Auflager quer auf ihn wirkt. Rechnerisch ist es das Produkt aus Kraft und Hebelarmlänge. Im abgebildeten Beispiel hat es seinen maximalen Wert an der Stelle, wo die Kraft $F$ einwirkt, und ist das Produkt aus der sich durch die mittige Lage ergebenden Auflagekraft $F/2$ und der sich ergebenden Hebelarmlänge $l/2$ :

$M_{y}(x=l/2)=F/2\cdot l/2=F\cdot l/4$ .

Der Index $y$ zeigt an, dass die Biegung um die $y$ -Achse (im Beispiel senkrecht auf der Bildebene) erfolgt.
Die Variable $x$ ist die Koordinate in Längsrichtung des Balkens ($x=0$ über einem der beiden Auflager).

Biegelinie

Die Form beziehungsweise die Biegelinie $w(x)$ eines elastisch verbogenen schlanken (dünn relativ zur Länge) Bauteiles (Balken) mit konstantem Querschnitt, das einem Biegemoment $M_{y}(x)$ unterworfen ist, kann mit folgender Näherungs-Formel beschrieben werden:

$w''(x)=-{M_{y}(x) \over EI_{y}}$     ($w''$ ist die Krümmung der Biegelinie, die in der $xz$ -Ebene (Bildebene) liegt) .

Der Elastizitätsmodul $E$ ist eine Materialeigenschaft, $I_{y}$ ist das axiale Flächenträgheitsmoment (eine rein geometrische Größe) des Balken-Querschnitts, von dem sein Verhalten bei Biegung um die $y$ -Achse abhängt.

Die Krümmung $w''$ ist proportional zum Biegemoment $M_{y}$ . Im Beispiel sind beide in Balkenmitte ($x=l/2$) am größten.

$w''=-{F\cdot l \over 4\cdot EI_{y}}$ .

Biegespannung

Die durch das Biegemoment verursachte Biegespannung in einem Querschitt eines Balkens kann wie folgt ermittelt werden:

$\sigma _{B}(z)={\frac {M_{y}(x)}{I_{y}}}z$ .

Die Biegespannung $\sigma _{B}$ ist gleich wie die Krümmung des schlanken Bauteils proportional zum Biegemoment $M_{y}$ . Im Beispiel ist sie folglich auch in Balkenmitte ($x=l/2$) am größten.

$\sigma _{B}(z)={\frac {M_{y}(x=l/2)}{I_{y}}}z$ .

Die Höhe der Biegespannung spielt eine Rolle, wenn zu untersuchen ist, ob der Balken die Beanspruchung aushält, sich nicht bleibend verformt oder gar bricht. Sie ist im Balkenquerschnitt nicht konstant, sondern proportional zur Entfernung $z$ von der neutralen Faser (in der Regel durch den Schwerpunkt des Querschnitts gehend). Beim maximalen $z_{r}$, das heißt in der oberen Randfaser (Bogeninnenseite) entsteht die größte Druck-Spannung, in der untersten Randfaser (Bogenaußenseite) die größte Zug-Spannung.

Weil bei konstantem Balkenquerschnitt das Flächenträgheitsmoment konstant ist, lässt sich sein Quotient mit dem Abstand der Randfaser $z_{r}$ zum konstanten Widerstandsmoment

$W_{y}=I_{y}/z_{r}$

zusammen fassen. Für die in der Randfaser auftretende Biegespannung $\sigma _{r}$ gilt damit die Formel:

$\sigma _{r}(x)={\frac {M_{y}(x)}{W_{y}}}$ .

Im Beispiel ( $x=l/2$: $M_{y}=F\cdot l/4$ ) hat die die Dimensionierung des Balkens gegen Biege-Versagen bestimmende Spannung den Wert:

$\sigma _{r}={\frac {F\cdot l}{4\cdot W_{y}}}$ .

Siehe auch

• Balkentheorie
• Torsionsmoment
• Moment (Technische Mechanik)
• Statische Berechnung