Eulersche Zahl

Die nach Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl e=2,718281828459... ist die Basis des so genannten natürlichen Logarithmus. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine große Rolle. Die e-Funktion (Exponentialfunktion) f(x)=e^x = e^x (gesprochen e hoch x) ist im wesentlichen die einzige Funktion, die beim Differenzieren unverändert bleibt.

Die Zahl e kann unter anderem durch Grenzwertbildung definiert werden. Die zwei bekanntesten Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$
$e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\dots$

wobei man letztere Formel durch die Fakultätsschreibweise mit dem "!"-Zeichen im allgemeinen abkürzt zu

e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}

Da e eine transzendente Zahl ist, ist der entstehende Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch.

Es gilt:

(e^x)' = e^x (Die Ableitung (von f(x)=e^x) ist gleich f(x))

e^i·π = -1 (Dabei ist i die imaginäre Einheit und π die Kreiszahl pi), dies ist die Eulersche Identität

Der Buchstabe e für diese Zahl wurde zuerst von Euler benutzt, es ist jedoch anzunehmen, daß dies eher aus praktischen Gründen geschah, als in Anlehnung an seinen Namen. Die Buchstaben a, b, c und d waren und sind in der Mathematik häufig benutzt, weshalb e eine gute Wahl für die Eulersche Zahl ist.

weitere Formeln für die Eulersche Zahl

e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}

Eine eher unübliche aber bemerkenswerte Darstellung der Eulerschen Zahl ist zum Beispiel die Catalansche Darstellung

e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots

Um 1975 entdeckte der Schweizer Felix A. Keller folgende Formel, die gegen e konvergiert (Diese Formel wurde zum ersten Mal 1998 auf Steven Finch's Website http://www.mathsoft.com veröffentlicht und "Keller's Expression" genannt):

e=\lim _{n\to \infty }\left({\rm {}}{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}-{\frac {(n-1)^{n-1}}{(n-2)^{n-2}}}\right)

Für jede komplexe Zahl z gilt:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}

Siehe auch den Artikel Exponentialfunktion.

Programmbeispiele zur Berechnung von e

Die mathematische Reihe kann man sehr einfach in ein Pseudocode-programm umsetzen, um Näherungswerte für e zu ermitteln:

E = 1 : F = 1

For K = 1 to 10
  F = F*K
  E = E + 1/F
  Print E
Next K

Am Anfang hat man E und F gleich 1 gesetzt. F ist die Fakultätsvariable, die nach dem gewünschten Ausdruck zu F = K! anwächst. Mit wachsendem Schleifendurchlauf nähert sich der Wert von E immer mehr an den wahren Wert von e an.

Eine weitere Variante in der Programmiersprache C:

main()
{  unsigned long f=1;
   double e=1.0;
   int k;
  
   for (k=1; k<=10; ++k) {
      f*=k;
      e+=1.0/f;
      printf("%f\n",e);
   }
}

Die Ausführung ergibt

Anschauliche Interpretation

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen K_n = K₀ * (1+p)ⁿ, wobei K₀ das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl der Verzinsungen sind.

In unseren Beispiel sind K₀ = 1 EUR, p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder p = 100% / n = 1/n, wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre K₁ = 1*(1+1)¹ EUR = 2,00 EUR. Bei halbjährlichem Zuschlag hat man p = 1/2, also K₂ = 1*(1+0,5)² EUR = 2,25 EUR, also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (p=1/365) erhalten wir K₃₆₅= 1*(1+1/365)³⁶⁵ = 2,714567... EUR. Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene 1. Formel für e.

Weblinks

ausführliche Informationen und Angaben zu relevanter Literatur (englisch)