Umkehrregel

Die Umkehrregel ist eine Regel der Differentialrechnung. Dabei wird eine Funktion mit Hilfe ihrer Umkehrfunktion differenziert.

$f'(x)={{1} \over {(f^{-1})'(f(x))}}$

Dass die Umkehrregel richtig ist, lässt sich aus der folgenden Skizze erkennen:

Ableitung der Umkehrfunktion (geometrisch)

Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten x und y. Die Graphen der Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f^-1 sind also zueinander symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung y = x. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist gleich der Steigung der zugehörigen Tangente, also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenüber der Waagrechten. Damit erhält man:

$f'(x)=\tan \alpha =\tan(90^{\circ }-\beta )={\frac {1}{\tan \beta }}={\frac {1}{(f^{-1})'(f(x))}}$

Beispiel

Für den natürlichen Logarithmus

$f(x)=\operatorname {ln} \,(x)$

lautet die Umkehrfunktion:

$f^{-1}(x)=e^{x}\,$

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist:

$(f^{-1})'(x)=e^{x}\,$

Dann lautet die Ableitung der Funktion:

$f'(x)={{1} \over {e^{(\operatorname {ln} \,(x))}}}={1 \over x}$