Lineares Gleichungssystem

Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mehreren linearen Gleichungen. Diese sind dadurch definiert, dass die Unbekannten in ihnen nur in der ersten Potenz stehen und die Konstanten reelle Zahlen sind. Mathematisch formuliert heißt das:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...\ a_{n}x_{n}=b\qquad a\in \mathbb {R} \wedge b\in \mathbb {R}$

Beispiel

Aufgabe

Ein Vater und ein Sohn sind zusammen 62 Jahre alt. Vor sechs Jahren war der Vater viermal so alt wie der Sohn. Wie alt ist jeder?

Lösung

Gesetzt das Alter des Vater sei x und das Alter des Sohnes y. So gilt

(1) x + y = 62
(2) x - 6 = 4 * (y -6)

Es ergibt sich also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Formt man (1) durch Subtraktion von x zu

(1') y = 62 - x

um und setzt dies in (2) ein, so folgt

x - 6 = 4 * (62 - x - 6) | Faktoren in der Klammer zusammenfassen
x - 6 = 4 * (56 - x)     | Klammer ausmultiplizieren
x - 6 = 224 - 4x         | + 4x + 6
5x    = 230              | : 5
x     = 46

setzt man dieses Ergebnis in (1') ein so folgt dann

y = 62 - 46
y = 16

Also ist der Vater 46 Jahre und der Sohn 16 Jahre alt, zusammen also 62 Jahre. Vor sechs Jahren waren der Vater 40 Jahre und der Sohn 10 Jahre alt, der Vater also viermal so alt wie der Sohn.

Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssystem sind das Gaußsches Eliminationsverfahren und die Cramersche Regel.