Taylorreihe

In der Analysis verwendet man Taylorreihen, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. Die Taylorreihe (oder Taylor-Reihe) einer Funktion $f$ in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion an diesem Punkt. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Eng verwandt mit der Taylorreihe sind die Taylor-Polynome, die im Artikel Taylor-Formel beschrieben sind.

Definition

Ist $I$ ein reelles Intervall und $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion, dann heißt für $a$ aus $I$ die unendliche Reihe

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

die Taylor-Reihe von $f$ mit Entwicklungspunkt $a$.

Im Spezialfall $a=0$ wird die Taylor-Reihe manchmal auch Maclaurin-Reihe genannt.

Hierbei bezeichnet $f^{(n)}(a)$ die $n$-te Ableitung von $f$ an der Stelle $a$ (mit $f^{(0)}:=f$) und $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$ die Fakultät von $n$.

Den Ausdruck $T_{1}(x):=f(a)+{f'(a)}(x-a)$ (also die Summe der ersten beiden Terme der Taylorreihe) nennt man auch "Linearisierung von $f$ an der Stelle $a$". Allgemeiner nennt man die Partialsumme

$T_{n}(x):=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},$

die für festes $a$ ein Polynom in der Variablen $x$ darstellt, das $n$-te Taylorpolynom, und die Taylor-Formel macht eine Aussage über ihre Abweichung (das Restglied) von der Funktion $f$. Aufgrund der Einfachheit der Polynomdarstellung sowie der guten Anwendbarkeit der Restgliedformel sind Taylorpolynome unverzichtbares Hilfsmittel der Analysis und der Ingenieurwissenschaften geworden.

Eigenschaften

Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe in $x$. Allgemein muss sie weder einen positiven Konvergenzradius haben, noch muss sie in ihrem Konvergenzbereich mit $f$ übereinstimmen: Die Gleichung

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

gilt nicht unbedingt für alle $x$ aus $I$, sondern nur dort, wo die Potenzreihe konvergiert und denselben Wert wie f(x) hat. Den Namen "Taylorreihe" trägt sie aber unabhängig von ihrer Konvergenz.

Die Taylorreihe konvergiert genau für diejenigen $x$ aus $I$ gegen $f(x)$, für die das Restglied $R_{k}(x)=f(x)-T_{k}(x)$ gegen 0 konvergiert.

Ist $f$ selbst eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $a$, dann stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein.

Die Taylorpolynome sind Partialsummen der Taylorreihe, und wenn die Taylorreihe gegen $f$ konvergiert, dann sind höhere Taylorpolynome automatisch bessere Näherungen, da ihre Restglieder kleiner sind. Für analytische Funktionen gibt es um jeden Wert von $x$ stets eine Umgebung, in der diese Bedingung erfüllt ist.

Beispiele

Eine Funktion, die sehr schlecht durch die Taylorreihe approximiert wird

Die Taylorreihe einer Funktion konvergiert nicht immer gegen die Funktion. Im folgenden Beispiel stimmt die Taylorreihe auf keiner Umgebung um den Entwicklungspunkt mit der Ausgangsfunktion überein:

$f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{falls }}x\leq 0\\\mathrm {e} ^{-1/x}&{\mbox{falls }}x>0\end{cases}}$

Als reelle Funktion ist $f$ unendlich oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen in jedem Punkt $x\leq 0$ (insbesondere für $x=0$) ausnahmslos 0 sind. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit $f$ überein. Daher ist $f$ nicht analytisch. Die Taylorreihe um einen Punkt $a>0$ konvergiert zwischen 0 und $2a$ gegen $f$. Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für $x>0$ korrekt wiedergibt, für $x<0$ nicht konstant 0 ergibt.

Taylorreihen mit Konvergenzradius größer Null

Viele bekannte Funktionen lassen sich durch Potenzreihen darstellen, die dann gleichzeitig Taylorreihen der Funktion sind. Zum Beispiel gilt für alle reellen Zahlen $x$:

Exponentialfunktionen und Logarithmen

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ für alle reellen (oder komplexen) $x$

$\log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}$ für $-1<x\leq +1$

Diese Formel ist jedoch für praktische Rechnungen ungeeignet. Schneller konvergiert diese Reihe:

$\log \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}$ für $-1<x<+1$

Wählt man $x:={\frac {y-1}{y+1}}$ für ein $y>0$, dann erhält man damit $\log(y)$.

Trigonometrische Funktionen

Für den Entwicklungspunkt $a=0$ gilt (Maclaurin-Reihe):

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle\ } x$

$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle\ } x$

$\tan(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$, dabei ist $B_{2n}$ die $2n$-te Bernoulli-Zahl.

$\sec(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\ } \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$, dabei ist $E_{2n}$ die $2n$-te Eulersche Zahl.

Verallgemeinerte Taylorreihe

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet und $f:U\mapsto \mathbb {R}$ eine Funktion, die unendlich oft stetig differenzierbar ist. Dann heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\mathrm {d} ^{(k)}f(a)(x-a)^{k}$

die Taylorreihe von $f$ im Punkt $a$.

Anmerkungen

Bei $\mathrm {d} ^{(k)}f(a)$ handelt es sich um das Differential $k$-ter Ordnung einer mindestens $k$-fach stetig differenzierbaren Funktion $f$ im Punkt $a$. Also eine symmetrische, k-fach lineare Abbildung: $d^{(k)}f(a):\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$, die durch

$\mathrm {d} ^{(k)}f(a)(v_{1},\ldots ,v_{k}):={\frac {\partial ^{k}f}{\partial v_{1}\cdots \partial v_{k}}}(a)$ für alle $v_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$

definiert ist. Da $f$ $k$-fach stetig differenzierbar ist, folgt die Symmetrie des Differentials $k$-ter Ordnung direkt aus dem Satz von Schwarz.

Da es sich bei dem Differential um eine Funktion mit $k$ Argumenten handelt, ist folgende Abkürzung angenehm:

$\mathrm {d} ^{(k)}f(a)x^{k}:=\mathrm {d} ^{(k)}f(a)({\begin{matrix}\underbrace {x,\ldots ,x} \\{}^{\rm {k-mal}}\\[-4.5ex]\end{matrix}})$

Außerdem gilt die folgende Beziehung:

${\frac {\partial f}{\partial v_{i}}}(a)=\mathrm {d} f(a)v_{i}=\sum _{k=1}^{n}\partial _{k}f(a)\cdot v_{i}^{(k)}$ für alle $v_{i}=(v_{i}^{(1)},\ldots ,v_{i}^{(n)})^{t}\in \mathbb {R} ^{n}$

Daraus ergibt sich für das Differential:

$\mathrm {d} ^{(k)}f(a)x^{k}=\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{k}=1}^{n}\partial _{i_{1}}\cdots \partial _{i_{k}}f(a)x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}$