Lie-Algebren-Kohomologie

In der Mathematik ist die Lie-Algebren-Kohomologie ein technisches Hilfsmittel, welches insbesondere in Differentialgeometrie, Mathematischer Physik und der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet. Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes. Für kompakte Lie-Gruppen ist die algebraisch definierte Lie-Algebren-Kohomologie der Lie-Algebra isomorph zur deRham-Kohomologie der Lie-Gruppe.

Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra $\Lambda ^{*}{\mathfrak {g}}^{*}$ des dualen $\mathbb {R}$-Vektorraumes ${\mathfrak {g}}^{*}$ definieren wir für alle $k\in \mathbb {N}$ einen Operator

$d_{k}:\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}\rightarrow \Lambda ^{k+1}{\mathfrak {g}}$

durch

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle d_k f(g_1\wedge\ldots\wedge g_{k+1})=\sum_{1\le i<j\le k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_i,g_j\right]\wedge g_1\wedge\ldots \hat{g_i}\ldots\hat{g_j}\ldots\wedge g_{k+1})+\sum_{1\le i\le k}\left(-1\right)^if(g_1\wedge\ldots\hat{g_i}\ldots\wedge g_{k+1})} .

Der Komplex $(\Lambda ^{*}{\mathfrak {g}}^{*},d_{*})$ heißt Koszul-Komplex. Für alle $k\in \mathbb {N}$ gilt

$d_{k}d_{k-1}=0$.

Die Lie-Algebren-Kohomologie von ${\mathfrak {g}}$ ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle H^k(\mathfrak g):=ker(d_k)/im(d_{k-1})} .

Lie-Gruppen und Lie-Algebren-Kohomologie

Für eine Lie-Gruppe $G$ mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der $G$-invarianten Differentialformen auf $G$:

$(\Lambda ^{*}{\mathfrak {g}}^{*},d_{*})=(\Omega ^{G}(G),d)$,

die Lie-Algebren-Komologie von ${\mathfrak {g}}$ ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes $(\Omega ^{G}(G),d)$.

Elie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion

$\Omega ^{G}(G)\subset \Omega ^{*}(G)$

einen Isomorphismus der de-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen $G$ gilt also

$H_{dR}^{*}(G)=H^{*}({\mathfrak {g}})$.