Diskussion:Teilbarkeit

Die Teilbarkeit von Primzahlen kann man auch sehr leicht überprüfen: Ein Benutzer namens Sascha hat eine Frage gestellt, die nach Diskussion:Teilbarkeit durch Primzahlen verschoben wurde, da sie sich auf das inzwischen dort beschriebene Verfahren bezieht. --SirJective 11:57, 1. Mär 2004 (CET)

Teilbarkeit durch Zahlen der Form 2ⁿ-1

Zahlen, die diurch 3, 7, 15, 31, .. teilbat sind, haben eine bestimmte Struktur:

so ist 1449 im Binär-System 10110101001. In Dreiergruppen aufgeteilt ergibt sich folgende Struktur: 010 110 101 001. 010 und 101 ergeben zusammen 111. Das gleiche gilt für 110 und 001. Da es keine weiteren Dreiergruppen gibt, also keine Dreiergruppe übrig bleibt, ist 1449 durch 7 teilbar. Im Binärsystem hat die 7 die Form (111)₂. Die 7-adische Zahl endet mit einer 0. Auch das zeigt die Teilbarkeit durch 7 an.

In Zweiergruppen aufgeteilt sieht die Binärzahl von 1449 so aus: 01 01 10 10 10 01. Auch hier lassen sich alle Gruppen zu 11 Gruppen zusammenfassen, ohne das Eine Gruppe übrig bleibt.

--Arbol01 16:57, 24. Apr 2004 (CEST)

Ist das nicht einfach die Quersummenregel zur Basis 2? So wie die Quersumme einer Dezimalzahl die Teilbarkeit durch 9 testbar macht. --SirJective 22:42, 24. Apr 2004 (CEST)

In gewissem Sinne ist es das. Aber man darf nicht einfach Einsen zusammen gruppieren. Angenommen, ich habe die 6 5er Gruppen

A	10101	D	01010
B	11010	E	00101
C	10010	F	01101

Dann Sind die Binärzahlen AD, BE und CF durch 31 teilbar, die Binärzahlen AE, CD und BF aber nicht. Beide Teile müssen komplementär sein.

Eine Binärzahl bestehend aus allen 6 5er-Gruppen A, B, C, D, E und F ist aber in jeder Kombination durch 31 teilbbar.

Vergleichbar ist diese Art von Teilbarkeitsregel wohl am besten mit der der Elf. 341 ist dirch 11 Teilbar, weil man die 1 zu der 3 addieren kann, und so 44 erhält. Beziehungsweise 1243 ist durch 11 teilbar, weil 1+4 und 2+3 = 5 => 55, und 55 ist durch 11 teilbar. --Arbol01 23:12, 24. Apr 2004 (CEST)

OK, Denkfehler meinerseits. Zum Test der Teilbarkeit durch 2ⁿ-1 benutzt man die Quersummenregel zur Basis 2ⁿ. Wenn man die Ziffern selbst zur Basis 2 darstellt, erhält man eine Darstellung aus n-stelligen Bitblöcken. Du hast recht, dass die einfache Addition der Bits nicht funktioniert.

Für Zahlen mit zwei Ziffernblöcken reicht es, die Summe der beiden Blöcke zu bilden. Es reicht im allgemeinen (für größere Zahlen) jedoch nicht, nur je zwei Blöcke zu addieren. Beispiel:

001 011 011₂ = 91

ist durch 7 teilbar, weil die Summe aller Drei-Bit-Blöcke, 111₂, durch 7 teilbar ist. --SirJective

Ja, 91 ist ein Beispiel, warum das mit den Bit-Blocks nicht immer so einfach ist. 91 = (001 011 011)₂. Ich weiß nun nicht, ob es legal ist, aber 011 + 001 = 100, und 100 + 011 = 111. Gefällt mir nicht so richtig. --Arbol01 00:33, 25. Apr 2004 (CEST)

Was meinst du mit legal? In welcher Reihenfolge du die Ziffern bei der Quersummenbildung addierst, ist ja egal. Wenn die Zahl so geartet ist, dass schon je zwei Ziffern einen Einserblock bilden, ist das ja schön; dies ist jedoch nicht notwendig.

Dein Beispiel mit der Teilbarkeit durch 11 passt übrigens dadurch dazu, dass hier die Quersummenregel bei der Darstellung zur Basis 100 angewendet wird - du darfst nur Ziffern oder Ziffernblöcke addieren, deren Abstand gerade ist. --SirJective 00:44, 25. Apr 2004 (CEST)