Kongruente Zahl

Dreieck mit dem Flächeninhalt 6, einer kongruenten Zahl.

In der Zahlentheorie sind kongruente Zahlen ganze Zahlen, welche sich als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen darstellen lassen.

Die Folge der kongruenten Zahlen (Folge A003273 in OEIS) beginnt mit

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, …

Beispiel: Die ganze Zahl 6 ist eine kongruente Zahl, denn das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten $a=3$ und $b=4$ besitzt den Flächeninhalt $A={\tfrac {1}{2}}ab=6$ und nach dem Satz des Pythagoras die Hypotenuse $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {9+16}}=5$. Also ist die ganze Zahl 6 als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen eine kongruente Zahl.

Kongruente Zahlen im Bereich 1 bis 20

Die folgenden ganzen Zahlen im Bereich 1 bis 20 sind kongruent, da sie sich als Flächeninhalt $A={\tfrac {1}{2}}ab$ eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Katheten $a$ und $b$ und rationaler Hypotenuse $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ darstellen lassen:

Rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b.

Flächeninhalt $A$	Kathete $a$	Kathete $b$	Hypotenuse $c$
$5$	${\tfrac {3}{2}}$	${\tfrac {20}{3}}$	${\tfrac {41}{6}}$
$6$	$3$	$4$	$5$
$7$	${\tfrac {35}{12}}$	${\tfrac {24}{5}}$	${\tfrac {337}{60}}$
$13$	${\tfrac {780}{323}}$	${\tfrac {323}{30}}$	${\tfrac {106921}{9690}}$
$14$	${\tfrac {8}{3}}$	${\tfrac {63}{6}}$	${\tfrac {65}{6}}$
$15$	$4$	${\tfrac {15}{2}}$	${\tfrac {17}{2}}$
$20$	$3$	${\tfrac {40}{3}}$	${\tfrac {41}{3}}$

Satz von Tunnell

Der Satz von Tunnell, benannt nach Jerrold B. Tunnell, gibt notwendige Bedingungen dafür, dass eine Zahl kongruent ist. Unter der Annahme der Richtigkeit der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer sind diese Bedingungen auch hinreichend.

Für eine quadratfreie ganze Zahl $n$ definiere

${\begin{aligned}A_{n}&=\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \mid n=2x^{2}+y^{2}+32z^{2}\}\\B_{n}&=\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \mid n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\}\\C_{n}&=\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \mid n=8x^{2}+2y^{2}+64z^{2}\}\\D_{n}&=\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \mid n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}.\end{aligned}}$

Wenn $n$ eine ungerade Kongruenzzahl ist, dann muss $2A_{n}=B_{n}$ sein, wenn $n$ eine gerade Kongruenzzahl ist, dann muss $2C_{n}=D_{n}$ sein.

Falls die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer für elliptische Kurven der Form $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gilt, dann sind diese Bedingungen auch hinreichend.

Für jede positive ganze Zahl $s$ ist eine ganze Zahl $q$ genau dann eine Kongruenzzahl, wenn $s^{2}q$ eine Kongruenzzahl ist. Deshalb kann man sich bei der Lösung des Kongruenzzahl-Problems auf quadratfreie Zahlen beschränken.

Literatur

• Tunnell, Jerrold B.: A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2. Inventiones Mathematicae 72 (2), 323–334 (1983).

Weblinks

• Holger Dambeck: Mathematik: Lösung für Rätsel aus 1001 Nacht rückt näher. Spiegel Online, 31. Januar 2013, abgerufen am 1. Februar 2013.