Lösen von Ungleichungen
Beim Lösen von Ungleichungen versucht man, eine unübersichtliche Ungleichung so weit zu vereinfachen, dass sich einfache Aussagen etwa der Form x>5 bilden, die unmittelbar zu verstehen sind oder die sich an der Zahlengeraden veranschaulichen lassen. Im Prinzip gelten hier die selben Grundregeln wie für das Lösen von Gleichungen. Allerdings erfordert die Asymmetrie der Vergleichszeichen darüberhinaus ein besonderes Augenmerk auf die Vorzeichen der Umformungen. Dies wird wesentlicher Bestandteil dieses Artikels.
Grundregeln
Ähnlich wie beim Lösen von Gleichungen werden Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen gelöst. D. h. es sind eine Reihe von Aktionen erlaubt, vorausgesetzt, sie werden auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens gleich ausgeführt. Ohne Einschränkung gilt das für die Addition und die Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten.
Bei der Multiplikation mit demselben Ausdruck und bei der Division durch demselben Ausdruck auf beiden Seiten dreht sich das Vergleichszeichen um, wenn der Ausdruck negativ ist. Auch beim Vertauschen beider Seiten dreht sich das Vergleichszeichen.
Vom Potenzieren beider Seiten mit dem selben Exponenten sollte ein ungeübter Rechner besser die Finger lassen, da das Verhalten des Vergleichszeichens nur mit einigem Aufwand zu überblicken ist.
Lineare Ungleichungen
Lineare Ungleichungen werden durch Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Konstanten ähnlich wie lineare Gleichungen gelöst.
Quadratische Ungleichungen
Dieser Abschnitt folgt demnächst.
Ungleichungen höherer Ordnung
Ungleichungen ab der Ordnung 3 werden sehr unübersichtlich, so dass sringend empfohlen wird, sie graphisch zu lösen.
Bruchungleichungen
Dieser Abschnitt folgt demnächst.
Graphische Verfahren
Graphische Verfahren können im Rahmen der Zeichengenauigkeit Anhaltspunkte über Anzahl und Lage der Lösungen geben.
Liegt die Ungleichung in einer der Normalform von Gleichungen entsprechenden Form vor, lässt sich die linke Seite als Funktion auffassen, deren Graph nach einer Wertetafel mit hinreichender Genauigkeit zu zeichnen ist. Die Bereiche links oder rechts der Nullstellen (d. h. Schnittpunkte mit der x-Achse) stellen dann die Lösungsmengen grafisch dar.
Andernfalls sind die Funktionen, die der rechten und der linken Seite der Ungleichung entsprechen, zusammen in ein Achsenkreuz zu zeichnen. Die x-Werte der Schnittpunkte geben die Grenzen der Lösungsbereiche an. Quadratische Ungleichungen werden so umgeformt, dass der quadratische Term nur links vom Vergleichszeichen und mit dem Vorfaktor 1 zu stehen kommt. Dann kann man mittels Schablone die Einheitsparabel zeichnen und mit der aus der rechten Seite hervorgehenden Geraden zum Schnitt bringen. Dies ist rechts exemplarisch für die Ungleichung x²<0,5x+0,5 (roter Bereich) bzw. x²>0,5x+0,5 (blauer Bereich)gezeigt.
Siehe auch: Ungleichung - Lösen von Gleichungen
