Additionsverfahren (Mathematik)

Das Additionsverfahren ist ein Verfahren, das zur Lösung von Gleichungssystemen genutzt werden kann. Der wahrscheinlich bekannteste Lösungsansatz zur Lösung von Gleichungssystemen, das Gaußsche Eliminationsverfahren, bedient sich des Additionsverfahrens, es ist aber auch allgemein bei der Lösung von Gleichungssystemen von Bedeutung.

Wie der Name schon im Ansatz verrät, werden mit Hilfe des Additionsverfahren Gleichungen addiert. Dies geschieht in der Regel so, dass ein oder gleich mehrere Variablen (Unbekannte) in den Gleichungen eliminiert werden.

Beispiel

Gegeben ist folgendes Gleichungssystem:

(1)    5x +  3y = 5      
(2)    3x +   y = -1

Durch Addition der beiden Gleichungen soll eine Variable eliminiert werden. Daher muss eine der beiden Gleichungen umgeformt werden. Exemplarisch wird dies hier mit der zweiten Gleichung durchgeführt, damit y bei der Addition eliminiert wird:

(1)    5x + 3y = 5
(2)    3x +  y = -1    | * (-3)

Dies führt zu folgendem modifiziertem, aber immer noch gleichwertigen, Gleichungssystem:

(1)    5x + 3y = 5
(2)'  -9x - 3y = 3

Jetzt werden die beiden Gleichungen zusammengezählt und in einer einzigen Gleichung zusammengefasst:

(3)   -4x + 0y = 8

Und anschließend nach der verbleibenden Variable, x, aufgelöst:

(3)   -4x      = 8     | : (-4)
 
(3)     x      = -2

Der Wert für die erste Variable ist also gefunden, durch Einsetzen des Ergebnisses in eine der Ausgangsgleichungen und Umstellen nach dem übrigbleibenden Unbekannten erhält man den zweiten gesuchten Wert:

x = -2 in (1):
 
(1)   -10 + 3y = 5     | + 10
 
(1)         3y = 15    | : 3
 
(1)          y = 5

Die Lösungen lauten also x = -2 und y = 5.

Siehe auch

Cramersche Regel, Gaußsches Eliminationsverfahren
Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren
Lineares Gleichungssystem