Normale Matrix

Eine normale Matrix ist in der linearen Algebra eine Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ mit der Eigenschaft

${\overline {A}}^{\rm {T}}\cdot A=A\cdot {\overline {A}}^{\rm {T}}$,

also eine Matrix, die mit ihrer konjugiert-transponierten Matrix kommutiert. Für reelle Matrizen gilt dies analog.

Normale Matrizen und Eigenwerte

Aus dem Spektralsatz folgt, dass eine Matrix $A$ dann und nur dann normal ist, wenn es eine unitäre Matrix $U$ gibt, sodass $A=UDU^{\rm {H}}$, wobei $D$ eine Diagonalmatrix ist. Die Diagonalelemente von $D$ sind genau die Eigenwerte von $A$.

Normale Matrizen haben also die Eigenschaft, dass sie diagonalisierbar sind. Umgekehrt sind Matrizen, die durch eine unitäre Transformation diagonalisiert werden können, normal. Es existiert also eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren von A. Viele Eigenschaften von normalen Matrizen als Abbildung lassen sich anhand ihrer Eigenwerte sehr gut untersuchen.