Infinitesimalzahl

Eine Infinitesimalzahl ist eine Zahl, deren Betrag größer ist als Null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl.

Beispiel

Eine Zahl x ≠ 0 ist eine Infinitesimalzahl, wenn jede beliebigen Summe von endlich vielen Gliedern des Betrages dieser Zahl kleiner als 1 ist.

sum |x| + ... + |x| < 1 (für jede endliche Anzahl von Summanden)

In diesem Fall ist |1/x| größer als jede beliebige positive reelle Zahl.

Eine Infinitesimalzahl ist nur eine begriffliche Größe. Es existiert keine reelle Infinitesimalzahl. Das kann man folgendermaßen zeigen: Untersuchen wir, ob die kleinste obere Grenze c aller positiven Infinitesimalzahlen eine Infinitesimalzahl ist oder nicht. Wenn ja, dann ist auch 2c eine Infinitesimalzahl, das widerspricht aber dem Fakt, dass c die größte Infinitesimalzahl sein soll. Wenn nicht, dann ist auch c/2 keine Infinitesimalzahl, was dem Fakt widerspricht, dass unter allen oberen Grenzen der Infinitesimalzahlen c die größte sein soll.

Der erste Mathematiker, der solche Zahlen nutzte, war wohl Archimedes, obwohl er nicht an ihre Existenz glaubte.

Newton und Leibnitz nutzen die Infinitesimalzahlen, um ihr Kalkül zu entwckeln.

Typischerweise argumentierten sie:

Um eine Ableitung f'(x) der Funktion f(x) = x², nehmen wir an, dx sei infinitesimal. Dann ist

f'(x) = (f(x+dx)-f(x))/dx = (x²+2x×dx+dx²-x²)/dx = 2x+dx = 2x, :weil dx infinitesimal klein ist.

Obwohl dieses Argument intuitiv einleuchtet und richtige Ergebnisse liefert, ist es mathematisch nicht exakt.

Die Nutzung von Infinitesimalzahlten wurde von Bischof Berkeley kritisiert in seinem Werk: The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. Das grundlegende Problem ist, dass dx zunächst als ungleich Null betrachtet wird (wir teilen durch dx) und später wird es betrachtet, als sei es Null.

Erst im neunzehnten Jahrhundert wurde durch Karl Weierstrass und andere dem Differentialkalkül eine mathematisch strenge formale Form gegeben. Sie führten Grenzwertbetrachtungen ein, die die Nutzung infinitesimaler Größen überflüssig machten.

Trotzdem wurde die Nutzung der Infinitesimalzahlen weiterhin als nützlich für die Vereinfachung von Darstellungen und Berechnungen betrachtet.

In der Nichtstandardalgebra von Abraham Robinson sind Infinitesimalzahlen legitime Größen. In dieser Algebra kann die oben erwähnte Ableitung von f(x) = x² durch eine geringfügige Modifikation gerechtfertigt werden: Wir sprechen über den Standardteil des Differentialquotienten und der Standardteil von x + dx ist x.

Außerdem kann eine "synthetische Differentialgeometrie" aufgestellt werden.

Siehe auch: